Unidad 1Matrices y determinantes

Contenidos

Matrices como herramienta para organizar datos en tablas y grafos. Clasificación y operaciones.
Aplicación de las operaciones con matrices a problemas de contextos reales.
Determinantes y propiedades elementales.
Rango de una matriz.
Matriz inversa.

1. Concepto y clasificación

Una matriz de dimensión $m \times n$ es una tabla de números reales con $m$ filas y $n$ columnas. Se escribe $A = (a_{i j})$ , donde $a_{i j}$ ocupa la fila $i$ y la columna $j$ . Sirven para organizar datos: tablas de precios, de producción, de puntuaciones o las conexiones de un grafo.

Tipo	Característica
Fila / columna	Una sola fila ( $1 \times n$ ) o una sola columna ( $m \times 1$ )
Cuadrada	$m = n$ (orden $n$ ). Su diagonal principal es $a_{11}, a_{22}, \dots$
Nula	Todos los elementos son 0
Diagonal	Cuadrada con ceros fuera de la diagonal principal
Identidad $I_{n}$	Diagonal con unos; cumple $A I = I A = A$
Triangular	Ceros por debajo (o por encima) de la diagonal
Traspuesta $A^{t}$	Se intercambian filas y columnas: ${(A^{t})}_{i j} = a_{j i}$
Simétrica	$A^{t} = A$
Antisimétrica	$A^{t} = - A$

Matriz de adyacencia de un grafo. Si un grafo tiene $n$ vértices, su matriz de adyacencia tiene $a_{i j} = 1$ si hay una arista de $i$ a $j$ y $0$ en otro caso. El elemento $(i, j)$ de $A^{k}$ cuenta los caminos de longitud $k$ que van de $i$ a $j$ .

2. Operaciones

Suma y resta: solo entre matrices de la misma dimensión, elemento a elemento.
Producto por un número: $k A = (k a_{i j})$ .
Producto de matrices: $A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = C_{m \times p}$ solo si las columnas de $A$ coinciden con las filas de $B$ . Cada elemento es el producto de una fila de $A$ por una columna de $B$ : $c_{i j} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + \dots + a_{i n} b_{n j}$
Propiedades: el producto es asociativo y distributivo, pero no es conmutativo ( $A B \neq B A$ en general) y $A B = 0$ no implica $A = 0$ o $B = 0$ . Además ${(A B)}^{t} = B^{t} A^{t}$ .

🧩 Producto matricial

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Ejemplo. Una tienda vende tres productos con precios (€) $P = (2 3 5)$ y las ventas de dos días, por columnas, son $V = (\begin{matrix} 10 & 8 \\ 4 & 6 \\ 2 & 5 \end{matrix})$ . Los ingresos de cada día son $P V = (2 \cdot 10 + 3 \cdot 4 + 5 \cdot 2 2 \cdot 8 + 3 \cdot 6 + 5 \cdot 5) = (42 59) .$

3. Determinantes

El determinante asocia un número $| A |$ a cada matriz cuadrada.

Orden 2: $∣ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} ∣ = a d - b c$ .
Orden 3 (regla de Sarrus): suma de los productos de la diagonal principal y de sus dos paralelas, menos los de la diagonal secundaria y sus paralelas.
Menor complementario $M_{i j}$ : determinante que queda al quitar la fila $i$ y la columna $j$ . Adjunto $A_{i j} = {(- 1)}^{i + j} M_{i j}$ .
Desarrollo por una fila o columna: $| A | = a_{i 1} A_{i 1} + \dots + a_{i n} A_{i n}$ . Conviene elegir la fila o columna con más ceros.

Propiedades elementales

$| A^{t} | = | A |$ .
Si una fila (o columna) es nula, o dos filas son iguales o proporcionales, $| A | = 0$ .
Si se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo.
Si se multiplica una fila por $k$ , el determinante queda multiplicado por $k$ . Por tanto $| k A | = k^{n} | A |$ para una matriz de orden $n$ .
Si a una fila se le suma una combinación lineal de las otras, el determinante no cambia.
$| A B | = | A | | B |$ .

🧩 Determinante de una matriz

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4. Rango de una matriz

El rango es el número máximo de filas (o columnas) linealmente independientes. Equivale al orden del mayor menor no nulo.

Cálculo por Gauss: se escalona la matriz con operaciones elementales entre filas (intercambiar, multiplicar por un número no nulo, sumar a una fila un múltiplo de otra). El rango es el número de filas no nulas.

Por menores: $rg (A) = r$ si existe un menor de orden $r$ distinto de 0 y todos los de orden mayor son 0.

5. Matriz inversa

La inversa de una matriz cuadrada $A$ es la matriz $A^{- 1}$ tal que $A A^{- 1} = A^{- 1} A = I$ .

Existe si y solo si $| A | \neq 0$ (entonces $A$ es regular; si $| A | = 0$ es singular).
Por adjuntos: $A^{- 1} = \frac{1}{| A |} (Adj A)^{t}$ , donde $Adj A$ es la matriz de los adjuntos de $A$ .
Por Gauss-Jordan: se escalona $(A | I)$ hasta obtener $(I | A^{- 1})$ .
Propiedades: ${(A B)}^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ , ${(A^{- 1})}^{- 1} = A$ , $| A^{- 1} | = 1 / | A |$ .

Ecuaciones matriciales. Si $A$ es regular: $A X = B \Rightarrow X = A^{- 1} B$ y $X A = B \Rightarrow X = B A^{- 1}$ . El orden de los factores importa.

🧩 Ecuación matricial AX=B

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Ejemplo. Para $A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})$ : $| A | = 1$ y $Adj A = (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix})$ , luego $A^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix})$ .

✎ Problemas

Resuélvelos en tu cuaderno y pulsa «Ver solución» para autoevaluarte. Están ordenados de menor a mayor dificultad.

Con $A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 \end{matrix})$ y $B = (\begin{matrix} 2 & 0 & 1 \\ - 1 & 5 & 3 \end{matrix})$ , calcula:

$A + B$
$2 A - 3 B$
$A^{t}$ y $B^{t}$

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a) $(\begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 7 \end{matrix})$ b) $(\begin{matrix} - 4 & 4 & - 3 \\ 9 & - 17 & - 1 \end{matrix})$ c) $(\begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \\ 0 & 4 \end{matrix})$ y $(\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 0 & 5 \\ 1 & 3 \end{matrix})$

Dadas $A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix})$ y $B = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix})$ , calcula $A B$ y $B A$ . ¿Son iguales?

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$A B = (\begin{matrix} - 2 & 5 \\ - 4 & 11 \end{matrix})$ , $B A = (\begin{matrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{matrix})$ . No son iguales: el producto no es conmutativo.

Para $A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix})$ , calcula $A^{2} - 5 A - 2 I$ (con $I$ la identidad de orden 2). ¿Qué observas?

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$A^{2} = (\begin{matrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{matrix})$ y $A^{2} - 5 A - 2 I = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$ : es la matriz nula (verifica su ecuación característica).

Halla todas las matrices $B = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ que conmutan con $A = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ .

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$A B = (\begin{matrix} a + c & b + d \\ c & d \end{matrix})$ y $B A = (\begin{matrix} a & a + b \\ c & c + d \end{matrix})$ . Igualando: $c = 0$ y $a = d$ . Son las matrices $(\begin{matrix} a & b \\ 0 & a \end{matrix})$ , con $a, b \in ℝ$ .

Un grafo tiene cuatro vértices con la matriz de adyacencia $A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{matrix})$ . Calcula $A^{2}$ e interpreta el elemento $(1, 2)$ y el elemento $(1, 1)$ .

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$A^{2} = (\begin{matrix} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \end{matrix})$ . El elemento $(1, 2) = 1$ : hay 1 caminos de longitud 2 del vértice 1 al 2. El elemento $(1, 1) = 2$ : hay 2 caminos de longitud 2 que salen de 1 y vuelven a 1 (ida y vuelta por cada vecino).

Una empresa fabrica dos modelos de mesa (M1 y M2). Cada M1 necesita 3 h de corte, 1 h de montaje y 2 h de pintura; cada M2 necesita 2 h, 4 h y 1 h respectivamente. Se fabrican 10, 20 y 30 mesas de M1 en tres semanas y 5, 15 y 25 de M2. Plantea el cálculo con matrices del total de horas de cada tipo en cada semana, y resuélvelo.

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Con $H = (\begin{matrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{matrix})$ (filas: corte, montaje, pintura; columnas: modelos) y $Q = (\begin{matrix} 10 & 20 & 30 \\ 5 & 15 & 25 \end{matrix})$ (filas: modelos; columnas: semanas), las horas son $H Q = (\begin{matrix} 40 & 90 & 140 \\ 30 & 80 & 130 \\ 25 & 55 & 85 \end{matrix})$ .

Calcula los determinantes:

$∣ \begin{matrix} 3 & - 2 \\ 5 & 4 \end{matrix} ∣$
$∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{matrix} ∣$
$∣ \begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} ∣$

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a) 22 b) 1 c) 8

Sea $A$ una matriz de orden 3 con $| A | = - 2$ . Calcula, justificando con las propiedades:

$| 2 A |$
$| A^{t} |$
$| A^{- 1} |$
$| A^{3} |$
$| - A |$

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a) $2^{3} \cdot (- 2) = - 16$ b) $- 2$ c) $- \frac{1}{2}$ d) ${(- 2)}^{3} = - 8$ e) ${(- 1)}^{3} (- 2) = 2$

Calcula, sin desarrollar, el determinante $∣ \begin{matrix} 1 & a & b + c \\ 1 & b & a + c \\ 1 & c & a + b \end{matrix} ∣$ .

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Sumando la columna 2 a la 3 se obtiene la columna ${(a + b + c, a + b + c, a + b + c)}^{t}$ , proporcional a la columna 1. Por tanto el determinante vale $0$ .

10.

Demuestra que $∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{matrix} ∣ = (b - a) (c - a) (c - b)$ .

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Restando a las columnas 2 y 3 la columna 1 queda $∣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ a & b - a & c - a \\ a^{2} & b^{2} - a^{2} & c^{2} - a^{2} \end{matrix} ∣ = (b - a) (c - a) ∣ \begin{matrix} 1 & 1 \\ b + a & c + a \end{matrix} ∣ = (b - a) (c - a) (c - b)$ .

11.

Halla los valores de $m$ para los que la matriz $A = (\begin{matrix} 1 & m & 0 \\ m & 1 & m \\ 0 & m & 1 \end{matrix})$ no tiene inversa.

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$| A | = 1 - 2 m^{2}$ . No tiene inversa si $| A | = 0$ , es decir, $m = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

12.

Calcula el rango de las matrices:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{matrix})$
$(\begin{matrix} 1 & 2 & - 1 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 0 \\ 3 & 6 & 0 & 3 \end{matrix})$
$(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix})$

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a) $1$ (todas las filas son proporcionales) b) $2$ (la fila 3 es la suma de las dos primeras) c) $2$ (la fila 3 es suma de las dos primeras)

13.

Discute el rango de $A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & m & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix})$ según los valores de $m$ .

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La primera y la tercera columna son iguales, luego $| A | = 0$ siempre y el rango es como máximo 2. El menor $∣ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} ∣ = - 1 \neq 0$ , por tanto $rg A = 2$ para todo $m$ .

14.

Calcula, si existe, la inversa de:

$(\begin{matrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{matrix})$
$(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{matrix})$
$(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix})$

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a) $(\begin{matrix} 3 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{matrix})$ b) $(\begin{matrix} - 24 & 18 & 5 \\ 20 & - 15 & - 4 \\ - 5 & 4 & 1 \end{matrix})$ (con $| A | = 1$ ) c) No existe: su determinante es $0$

15.

Sean $A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})$ y $B = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{matrix})$ . Resuelve las ecuaciones matriciales:

$A X = B$
$X A = B$
$A X + B = 2 I$

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a) $X = A^{- 1} B = (\begin{matrix} - 1 & - 3 \\ 3 & 6 \end{matrix})$ b) $X = B A^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 4 \end{matrix})$ c) $X = A^{- 1} (2 I - B) = (\begin{matrix} 3 & 1 \\ - 5 & - 2 \end{matrix})$

16.

Calcula $A^{n}$ para $A = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ y demuestra el resultado por inducción.

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$A^{2} = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ , $A^{3} = (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ , luego $A^{n} = (\begin{matrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{matrix})$ . Inducción: si es cierto para $n$ , $A^{n + 1} = A^{n} A = (\begin{matrix} 1 & n + 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ .

17.

Si $A$ es una matriz regular tal que $A^{2} = A$ , demuestra que $A = I$ .

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Multiplicando $A^{2} = A$ por $A^{- 1}$ : $A = I$ .