Unidad 10Integrales

Contenidos

Primitiva de una función. La integral indefinida. Técnicas elementales para el cálculo de primitivas.
La integral definida. Teoremas del valor medio y fundamental del cálculo integral. Áreas de regiones planas.

1. Primitiva e integral indefinida

$F$ es una primitiva de $f$ si $F' (x) = f (x)$ . Todas las primitivas difieren en una constante. La integral indefinida es el conjunto de ellas: $\int f (x) d x = F (x) + C$

Propiedades: $\int (f \pm g) = \int f \pm \int g$ y $\int k f = k \int f$ .

Integrales inmediatas

$f (x)$	$\int f (x) d x$	$f (x)$	$\int f (x) d x$
$x^{n} (n \neq - 1)$	$\frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$	$\frac{1}{x}$	$ln \| x \| + C$
$e^{x}$	$e^{x} + C$	$a^{x}$	$\frac{a^{x}}{ln a} + C$
$sin x$	$- cos x + C$	$cos x$	$sin x + C$
$\frac{1}{{cos}^{2} x}$	$tan x + C$	$\frac{1}{1 + x^{2}}$	$arctan x + C$
$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$	$arcsin x + C$

Forma compuesta. Por la regla de la cadena, $\int g' (x) g {(x)}^{n} d x = \frac{g^{n + 1}}{n + 1} + C$ , $\int \frac{g' (x)}{g (x)} d x = ln | g (x) | + C$ y $\int g' (x) e^{g (x)} d x = e^{g (x)} + C$ .

2. Técnicas elementales

Cambio de variable. Se sustituye $t = g (x)$ , $d t = g' (x) d x$ , se integra en $t$ y se deshace el cambio.

Ejemplo. $\int 2 x \sqrt{x^{2} + 1} d x$ : con $t = x^{2} + 1$ , $d t = 2 x d x$ , queda $\int \sqrt{t} d t = \frac{2}{3} t^{3 / 2} + C = \frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{3 / 2} + C$ .

Integración por partes. $\int u d v = u v - \int v d u$ Se elige $u$ como la parte que se simplifica al derivar (por orden: logaritmo, polinomio, exponencial o trigonométrica).

Ejemplo. $\int x e^{x} d x$ : $u = x$ , $d v = e^{x} d x$ , $v = e^{x}$ . Resulta $x e^{x} - \int e^{x} d x = (x - 1) e^{x} + C$ .

Funciones racionales. Si $gr P \geq gr Q$ se divide. Después se descompone en fracciones simples según las raíces del denominador: $\frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1})$ y se integra cada fracción (logaritmos).

3. La integral definida

Si $f \geq 0$ en $[a, b]$ , $\int_{a}^{b} f (x) d x$ es el área bajo la curva (límite de las sumas de Riemann). Si $f$ cambia de signo, la integral suma áreas con signo.

Propiedades: $\int_{a}^{a} f = 0$ ; $\int_{a}^{b} f = - \int_{b}^{a} f$ ; $\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f$ .

🧩 Integrales definidas y cálculo de áreas

Abrir en GeoGebra ↗

4. Teoremas fundamentales

Teorema del valor medio del cálculo integral. Si $f$ es continua en $[a, b]$ , existe $c \in [a, b]$ con $\int_{a}^{b} f (x) d x = f (c) (b - a)$ . El valor $f (c)$ es el valor medio de $f$ en el intervalo.

Teorema fundamental del cálculo. Si $f$ es continua en $[a, b]$ , la función $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ es derivable y $F' (x) = f (x)$ .

Regla de Barrow. Si $F$ es una primitiva de $f$ continua en $[a, b]$ : $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) = [F (x)]_{a}^{b}$

5. Áreas de regiones planas

Entre la curva y el eje $X$ en $[a, b]$ : $A = \int_{a}^{b} | f (x) | d x$ . Si $f$ cambia de signo, se parte en los puntos de corte con el eje.
Entre dos curvas con $f \geq g$ en $[a, b]$ : $A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$ . Los límites de integración suelen ser los puntos de corte de las curvas.

Procedimiento: se dibuja la región, se hallan los puntos de corte, se decide qué función está encima en cada tramo y se integra.

✎ Problemas

Resuélvelos en tu cuaderno y pulsa «Ver solución» para autoevaluarte. Están ordenados de menor a mayor dificultad.

Calcula las integrales inmediatas:

$\int (3 x^{2} - 4 x + 5) d x$
$\int \frac{1}{x^{3}} d x$
$\int (e^{2 x} + sin 3 x) d x$
$\int \frac{d x}{1 + 4 x^{2}}$
$\int \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Ver solución

a) $x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + C$ b) $- \frac{1}{2 x^{2}} + C$ c) $\frac{e^{2 x}}{2} - \frac{cos 3 x}{3} + C$ d) $\frac{1}{2} arctan (2 x) + C$ e) $\frac{3}{5} x^{5 / 3} + C$

Calcula, de forma inmediata o con un cambio de variable:

$\int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$
$\int 2 x \sqrt{x^{2} + 1} d x$
$\int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$
$\int tan x d x$
$\int {sin}^{3} x cos x d x$
$\int \frac{ln x}{x} d x$

Ver solución

a) $\frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$ b) $\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{3 / 2} + C$ c) $ln (1 + e^{x}) + C$ d) $- ln | cos x | + C$ e) $\frac{{sin}^{4} x}{4} + C$ f) $\frac{{(ln x)}^{2}}{2} + C$

Calcula por partes:

$\int x e^{x} d x$
$\int x cos x d x$
$\int x ln x d x$
$\int ln x d x$
$\int x^{2} e^{x} d x$

Ver solución

a) $(x - 1) e^{x} + C$ b) $x sin x + cos x + C$ c) $\frac{x^{2}}{2} ln x - \frac{x^{2}}{4} + C$ d) $x ln x - x + C$ e) Dos veces: $(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + C$

Calcula las integrales racionales:

$\int \frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x - 4} d x$
$\int \frac{d x}{x^{2} - 1}$
$\int \frac{x + 1}{x^{2} - x - 2} d x$
$\int \frac{3 x + 5}{(x + 1) (x + 3)} d x$

Ver solución

a) El numerador es la derivada del denominador: $ln | x^{2} + 3 x - 4 | + C$ b) $\frac{1}{2} ln | \frac{x - 1}{x + 1} | + C$ c) $x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)$ , luego queda $\int \frac{d x}{x - 2} = ln | x - 2 | + C$ d) $\frac{3 x + 5}{(x + 1) (x + 3)} = \frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x + 3}$ ; integral $ln | x + 1 | + 2 ln | x + 3 | + C$

Halla la primitiva $F$ de $f (x) = 3 x^{2} - 2 x$ que cumple $F (1) = 4$ .

Ver solución

$F (x) = x^{3} - x^{2} + C$ ; $F (1) = C = 4$ . Entonces $F (x) = x^{3} - x^{2} + 4$ .

Calcula con la regla de Barrow:

$\int_{0}^{1} (x^{2} + 1) d x$
$\int_{1}^{e} \frac{d x}{x}$
$\int_{0}^{π} sin x d x$
$\int_{0}^{1} x e^{x^{2}} d x$
$\int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$
$\int_{0}^{2} | x - 1 | d x$

Ver solución

a) $\frac{4}{3}$ b) $1$ c) $2$ d) $\frac{e - 1}{2}$ e) $\frac{14}{3}$ f) $1$

Calcula el área de la región:

Entre $y = x^{2} - 4$ y el eje $X$
Entre $y = x^{2}$ e $y = x$
Entre $y = x^{2}$ e $y = 2 x$
Entre $y = x^{3}$ e $y = x$
Entre $y = sin x$ y el eje $X$ en $[0, 2 π]$
Limitada por $y = ln x$ , el eje $X$ y $x = e$
Limitada por $y = e^{x}$ , $y = 1$ y $x = 1$

Ver solución

a) $\frac{32}{3}$ . Cortes en $x = \pm 2$ , $f < 0$ en $(- 2, 2)$ : $A = | \int_{- 2}^{2} (x^{2} - 4) d x | = \frac{32}{3}$ u² b) Cortes en $x = 0, 1$ ; $A = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = \frac{1}{6}$ u² c) Cortes en $x = 0, 2$ ; $A = \int_{0}^{2} (2 x - x^{2}) d x = \frac{4}{3}$ u² d) Cortes en $x = - 1, 0, 1$ ; por simetría $A = 2 \int_{0}^{1} (x - x^{3}) d x = \frac{1}{2}$ u² e) $A = \int_{0}^{π} sin x d x + | \int_{π}^{2 π} sin x d x | = 2 + 2 = 4$ u² f) $A = \int_{1}^{e} ln x d x = [x ln x - x]_{1}^{e} = 1$ u² g) $A = \int_{0}^{1} (e^{x} - 1) d x = e - 2 \approx 0, 72$ u²

Calcula el valor medio de $f (x) = x^{2}$ en $[0, 3]$ y el punto donde se alcanza.

Ver solución

$\frac{1}{3} \int_{0}^{3} x^{2} d x = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ . Se alcanza en $c^{2} = 3$ , $c = \sqrt{3} \in [0, 3]$ .

Sea $F (x) = \int_{0}^{x} sin (t^{2}) d t$ . Calcula $F' (x)$ y $F' (\sqrt{π})$ . Calcula también ${lim}_{x \to 0} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t$ .

Ver solución

Por el teorema fundamental, $F' (x) = sin (x^{2})$ y $F' (\sqrt{π}) = sin π = 0$ . El límite es $\frac{0}{0}$ ; por L’Hôpital: $lim \frac{e^{x^{2}}}{1} = 1$ .

10.

Un depósito se llena con un caudal $q (t) = 6 t - t^{2}$ (litros por minuto) en los primeros 6 minutos. ¿Cuántos litros entran en total? ¿Cuál es el caudal medio?

Ver solución

$\int_{0}^{6} (6 t - t^{2}) d t = [3 t^{2} - \frac{t^{3}}{3}]_{0}^{6} = 108 - 72 = 36$ litros. Caudal medio $\frac{36}{6} = 6$ L/min.

11.

Halla $k > 0$ para que el área limitada por $y = x^{2}$ y $y = k$ sea $\frac{32}{3}$ .

Ver solución

Cortes en $x = \pm \sqrt{k}$ . $A = 2 \int_{0}^{\sqrt{k}} (k - x^{2}) d x = 2 (k \sqrt{k} - \frac{k \sqrt{k}}{3}) = \frac{4}{3} k^{3 / 2} = \frac{32}{3} \Rightarrow k^{3 / 2} = 8 \Rightarrow k = 4$ .

12.

Halla el área encerrada entre la parábola $y = 4 - x^{2}$ y la recta $y = x + 2$ .

Ver solución

$4 - x^{2} = x + 2 \Rightarrow x^{2} + x - 2 = 0 \Rightarrow x = - 2, 1$ . $A = \int_{- 2}^{1} ((4 - x^{2}) - (x + 2)) d x = \int_{- 2}^{1} (2 - x - x^{2}) d x = \frac{9}{2}$ u².