Unidad 4Posiciones, intersecciones y ángulos

Contenidos

Posiciones relativas de rectas y planos: incidencia, paralelismo y perpendicularidad.
Intersecciones y ángulos.

1. Dos rectas

Sean $r$ con punto $P$ y director ${\vec{d}}_{r}$ , y $s$ con punto $Q$ y director ${\vec{d}}_{s}$ . Sea $\vec{P Q}$ el vector que une los puntos. Se estudian los rangos de ${{\vec{d}}_{r}, {\vec{d}}_{s}}$ y de ${{\vec{d}}_{r}, {\vec{d}}_{s}, \vec{P Q}}$ .

$rg ({\vec{d}}_{r}, {\vec{d}}_{s})$	$rg ({\vec{d}}_{r}, {\vec{d}}_{s}, \vec{P Q})$	Posición
1	1	Coincidentes
1	2	Paralelas distintas
2	2	Secantes (se cortan en un punto)
2	3	Se cruzan (no son coplanarias)

Equivalentemente, con el producto mixto: si $[{\vec{d}}_{r}, {\vec{d}}_{s}, \vec{P Q}] \neq 0$ las rectas se cruzan; si es 0 son coplanarias (secantes o paralelas).

Para hallar el punto de corte se igualan las coordenadas de $r$ y $s$ y se resuelve el sistema.

🧩 Posición relativa entre dos rectas

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2. Recta y plano

Sea $r$ con punto $P$ y director $\vec{d}$ , y $π : A x + B y + C z + D = 0$ con normal $\vec{n}$ .

Si $\vec{d} \cdot \vec{n} \neq 0$ : secantes en un punto. Se sustituye la recta en la ecuación del plano y se despeja $λ$ .
Si $\vec{d} \cdot \vec{n} = 0$ : la recta es paralela al plano. Si además $P \in π$ , la recta está contenida en el plano; si no, es paralela a él.

🧩 Posición relativa de una recta y un plano

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3. Dos planos

Sean $π_{1} : A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0$ y $π_{2} : A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$ .

Condición	Posición
$\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}} = \frac{D_{1}}{D_{2}}$	Coincidentes
$\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}} \neq \frac{D_{1}}{D_{2}}$	Paralelos
Los coeficientes de $x, y, z$ no son proporcionales	Secantes en una recta

La recta de intersección tiene vector director ${\vec{n}}_{1} \times {\vec{n}}_{2}$ .

🧩 Posición relativa de dos planos

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4. Tres planos

Se estudia el sistema de tres ecuaciones con los rangos de $A$ y $A^{*}$ (unidad 2).

Rangos	Posición
$rg A = rg A^{*} = 3$	Se cortan en un punto
$rg A = rg A^{*} = 2$	Se cortan en una recta (haz) o dos coinciden y el tercero los corta
$rg A = rg A^{*} = 1$	Los tres coinciden
$rg A = 2, rg A^{*} = 3$	Se cortan dos a dos (prisma) o dos son paralelos y el tercero los corta
$rg A = 1, rg A^{*} = 2$	Paralelos (dos coincidentes o los tres distintos)

5. Perpendicularidad y haces

Dos rectas son perpendiculares si ${\vec{d}}_{1} \cdot {\vec{d}}_{2} = 0$ .
Una recta es perpendicular a un plano si $\vec{d} ∥ \vec{n}$ .
Dos planos son perpendiculares si ${\vec{n}}_{1} \cdot {\vec{n}}_{2} = 0$ .
El haz de planos que contiene a la recta ${\begin{matrix} π_{1} = 0 \\ π_{2} = 0 \end{matrix}$ es $π_{1} + k π_{2} = 0$ . Todos esos planos contienen a la recta.

🧩 Haz de rectas y haz de planos

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6. Cómo resolver un problema de posiciones

Escribe las ecuaciones de los objetos en una forma cómoda (vectorial o general).
Usa vectores directores y normales para ver el paralelismo o la perpendicularidad.
Si hace falta un punto de corte, sustituye una ecuación en la otra.
Interpreta el resultado: ¿se cortan?, ¿dónde?, ¿con qué ángulo?

✎ Problemas

Resuélvelos en tu cuaderno y pulsa «Ver solución» para autoevaluarte. Están ordenados de menor a mayor dificultad.

Estudia la posición relativa de los pares de rectas y, si se cortan, halla el punto de corte:

$r : (1, - 1, 0) + λ (2, - 1, 3)$ y $s : (3, - 3, 3) + μ (4, - 2, 6)$
$r : (1, - 1, 0) + λ (2, - 1, 3)$ y $s : (3, - 2, 3) + μ (- 2, 1, - 3)$
$r : (1, 0, 2) + λ (1, 1, 0)$ y $s : (2, 1, 2) + μ (0, 1, 1)$
$r : (1, 0, 0) + λ (1, 1, 0)$ y $s : (0, 0, 1) + μ (1, - 1, 0)$

Ver solución

a) Paralelas: los directores son proporcionales y $\vec{P Q} = (2, - 2, 3)$ no lo es con ellos b) Coincidentes: ${\vec{d}}_{s} = - {\vec{d}}_{r}$ y $Q = (3, - 2, 3)$ está en $r$ (con $λ = 1$ ) c) Secantes en $(2, 1, 2)$ d) Se cruzan: $[{\vec{d}}_{r}, {\vec{d}}_{s}, \vec{P Q}] = - 2 \neq 0$

Estudia según $m$ la posición de $r : (1, 0, 0) + λ (1, 1, 1)$ y $s : (0, 1, m) + μ (1, - 1, 0)$ .

Ver solución

$\vec{P Q} = (- 1, 1, m)$ y $[{\vec{d}}_{r}, {\vec{d}}_{s}, \vec{P Q}] = - 2 m$ . Si $m = 0$ : secantes. Si $m \neq 0$ : se cruzan. (Nunca son paralelas porque ${\vec{d}}_{r}$ y ${\vec{d}}_{s}$ no son proporcionales.)

Halla $a$ y $b$ para que las rectas $r : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{a} = \frac{z + 1}{3}$ y $s : (x, y, z) = (3, 2, b) + μ (4, - 2, 6)$ sean paralelas, y decide cuándo coinciden.

Ver solución

Paralelas si ${\vec{d}}_{s} = (4, - 2, 6) ∥ (2, a, 3)$ , es decir $a = - 1$ . Coinciden si además $Q (3, 2, b) \in r$ : $\frac{3 - 1}{2} = 1$ , $\frac{2}{- 1} = - 2$ : no son iguales, luego no coinciden para ningún $b$ . Son paralelas distintas.

Estudia la posición de la recta $r : (1, 2, 0) + λ (1, 1, 1)$ respecto de cada plano y halla las intersecciones:

$π_{1} : x + y - 2 z = 3$
$π_{2} : x + y - 2 z = 5$
$π_{3} : 2 x - y + z = 0$

Ver solución

a) $\vec{d} \cdot \vec{n} = 0$ y $(1, 2, 0) \in π_{1}$ : la recta está contenida en el plano b) $\vec{d} \cdot \vec{n} = 0$ y $(1, 2, 0) \notin π_{2}$ : recta paralela al plano c) $\vec{d} \cdot \vec{n} = 2 \neq 0$ : secantes. $2 (1 + λ) - (2 + λ) + λ = 0 \Rightarrow λ = 0$ ; punto $(1, 2, 0)$

Estudia la posición relativa de los planos $π_{1} : x - 2 y + 3 z = 4$ , $π_{2} : 2 x - 4 y + 6 z = 8$ , $π_{3} : 2 x - 4 y + 6 z = 5$ y $π_{4} : x + y + z = 1$ , tomados de dos en dos.

Ver solución

$π_{1}$ y $π_{2}$ : coincidentes. $π_{1}$ y $π_{3}$ : paralelos. $π_{2}$ y $π_{3}$ : paralelos. $π_{4}$ corta a los otros tres. Por ejemplo $π_{1} \cap π_{4}$ es la recta $(2, - 1, 0) + t (- 5, 2, 3)$ .

Calcula la recta de intersección de $π_{1} : x + y + z = 3$ y $π_{2} : x - y + 2 z = 2$ y el ángulo entre los planos.

Ver solución

$\vec{d} = (1, 1, 1) \times (1, - 1, 2) = (3, - 1, - 2)$ . Un punto: con $z = 0$ , $x + y = 3$ y $x - y = 2$ dan $(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}, 0)$ . Recta: $(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}, 0) + λ (3, - 1, - 2)$ . $cos α = \frac{| 1 - 1 + 2 |}{\sqrt{3} \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ , $α \approx 61, 9^{\circ}$ .

Estudia la posición de los planos $x + y + z = 1$ , $x + m y + z = m$ y $x + y + m z = m^{2}$ según $m$ (usa el resultado de la unidad 2).

Ver solución

Con $m \neq 1, - 2$ : se cortan en un punto. Con $m = 1$ : los tres planos coinciden. Con $m = - 2$ : se cortan dos a dos sin punto común (prisma triangular).

Halla $a$ y $b$ para que la recta $r : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z}{3}$ sea perpendicular al plano $x + a y + b z = 5$ .

Ver solución

El vector normal $(1, a, b)$ debe ser paralelo a $(1, - 2, 3)$ : $a = - 2$ y $b = 3$ .

Halla la ecuación del plano que pasa por $P (1, 2, 3)$ y es paralelo al plano $2 x - y + 4 z = 1$ . Halla también la recta perpendicular a ese plano por $P$ .

Ver solución

Plano: $2 x - y + 4 z = 2 - 2 + 12 = 12$ , es decir $2 x - y + 4 z = 12$ . Recta: $(1, 2, 3) + λ (2, - 1, 4)$ .

10.

Halla $k$ para que la recta $r : (1, 0, k) + λ (1, 2, 1)$ esté contenida en el plano $x - y + z = 3$ y para que sea paralela a él sin estar contenida.

Ver solución

$\vec{d} \cdot \vec{n} = 1 - 2 + 1 = 0$ : siempre es paralela. Está contenida si $(1, 0, k) \in π$ : $1 + k = 3 \Rightarrow k = 2$ . Si $k \neq 2$ es paralela sin estar contenida.

11.

Halla el plano del haz $x + y + z - 1 + k (x - y) = 0$ que pasa por $(1, 2, 3)$ .

Ver solución

Sustituyendo: $1 + 2 + 3 - 1 + k (1 - 2) = 5 - k = 0 \Rightarrow k = 5$ . El plano es $6 x - 4 y + z - 1 = 0$ .

12.

Halla la recta que pasa por $P (1, 0, 1)$ , es paralela al plano $x + y + z = 3$ y perpendicular al vector $(1, 1, 0)$ .

Ver solución

Su director $\vec{d}$ cumple $\vec{d} \cdot (1, 1, 1) = 0$ y $\vec{d} \cdot (1, 1, 0) = 0$ , luego $\vec{d} = (1, 1, 1) \times (1, 1, 0) = (- 1, 1, 0)$ . Recta: $(1, 0, 1) + λ (- 1, 1, 0)$ .