Unidad 3Vectores, rectas y planos

Contenidos

Vectores en el espacio tridimensional.
Producto escalar, vectorial y mixto. Significado geométrico.
Ecuaciones de la recta y del plano en el espacio.
Propiedades métricas: ángulos, áreas y volúmenes.

1. Vectores en el espacio

Un vector $\vec{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ queda determinado por su módulo, dirección y sentido. El vector que une $A (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ con $B (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ es $\vec{A B} = (b_{1} - a_{1}, b_{2} - a_{2}, b_{3} - a_{3})$ .

Operaciones: se suman y se multiplican por un número componente a componente.
Módulo: $| \vec{u} | = \sqrt{u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2}}$ . Un vector es unitario si su módulo es 1; $\frac{\vec{u}}{| \vec{u} |}$ es el unitario con su misma dirección y sentido.
Distancia entre puntos: $d (A, B) = | \vec{A B} |$ . El punto medio de $A$ y $B$ es $M = \frac{A + B}{2}$ .
Dependencia lineal. Los vectores ${\vec{u}}_{1}, \dots, {\vec{u}}_{k}$ son linealmente dependientes si alguno es combinación lineal de los demás. Dos vectores son dependientes si son proporcionales. Tres vectores son dependientes si $det (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = 0$ , es decir, si son coplanarios. Tres vectores independientes forman una base de $ℝ^{3}$ .

2. Producto escalar

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3} = | \vec{u} | | \vec{v} | cos α$

donde $α$ es el ángulo entre los vectores.

$cos α = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{u} | | \vec{v} |}$ .
$\vec{u} ⊥ \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .
La proyección de $\vec{u}$ sobre $\vec{v}$ es el vector $\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{{| \vec{v} |}^{2}} \vec{v}$ .
Propiedades: conmutativo, distributivo y $\vec{u} \cdot \vec{u} = {| \vec{u} |}^{2}$ .

3. Producto vectorial

$\vec{u} \times \vec{v} = ∣ \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{matrix} ∣$

Es un vector perpendicular a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$ , con sentido dado por la regla de la mano derecha, y módulo $| \vec{u} \times \vec{v} | = | \vec{u} | | \vec{v} | sin α,$ que es el área del paralelogramo que forman. El área del triángulo es la mitad.

Propiedades: $\vec{u} \times \vec{v} = - \vec{v} \times \vec{u}$ (anticonmutativo) y $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{u} ∥ \vec{v}$ .

🧩 Producto vectorial

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4. Producto mixto

$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = ∣ \begin{matrix} u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{matrix} ∣$

Su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo definido por los tres vectores. El volumen del tetraedro es una sexta parte.
$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0 \Leftrightarrow$ los tres vectores son coplanarios.

🧩 Producto mixto

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5. La recta en el espacio

Una recta queda determinada por un punto $P (p_{1}, p_{2}, p_{3})$ y un vector director $\vec{d} = (d_{1}, d_{2}, d_{3})$ .

Forma	Ecuación
Vectorial	$(x, y, z) = (p_{1}, p_{2}, p_{3}) + λ (d_{1}, d_{2}, d_{3})$
Paramétricas	$x = p_{1} + λ d_{1}, y = p_{2} + λ d_{2}, z = p_{3} + λ d_{3}$
Continua	$\frac{x - p_{1}}{d_{1}} = \frac{y - p_{2}}{d_{2}} = \frac{z - p_{3}}{d_{3}}$
Implícitas	Intersección de dos planos: ${\begin{matrix} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0 \\ A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0 \end{matrix}$

Si la recta está dada por dos planos, su vector director es el producto vectorial de los vectores normales.

🧩 Ecuaciones de la recta en el espacio

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6. El plano

Un plano queda determinado por un punto $P$ y dos vectores directores $\vec{u}, \vec{v}$ no paralelos, o por un punto y un vector normal $\vec{n}$ .

Vectorial / paramétricas: $(x, y, z) = P + λ \vec{u} + μ \vec{v}$ .
General: $A x + B y + C z + D = 0$ , donde $\vec{n} = (A, B, C)$ es un vector normal.
Con un punto $P$ y los vectores $\vec{u}, \vec{v}$ : $∣ \begin{matrix} x - p_{1} & y - p_{2} & z - p_{3} \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{matrix} ∣ = 0$ , y $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ .
Plano por tres puntos $A, B, C$ : $\vec{u} = \vec{A B}$ , $\vec{v} = \vec{A C}$ .

🧩 Ecuaciones del plano

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7. Ángulos

Entre	Fórmula
Dos rectas (vectores directores ${\vec{d}}_{1}, {\vec{d}}_{2}$ )	$cos α = \frac{\| {\vec{d}}_{1} \cdot {\vec{d}}_{2} \|}{\| {\vec{d}}_{1} \| \| {\vec{d}}_{2} \|}$
Recta y plano ( $\vec{d}$ y $\vec{n}$ )	$sin α = \frac{\| \vec{d} \cdot \vec{n} \|}{\| \vec{d} \| \| \vec{n} \|}$
Dos planos ( ${\vec{n}}_{1}, {\vec{n}}_{2}$ )	$cos α = \frac{\| {\vec{n}}_{1} \cdot {\vec{n}}_{2} \|}{\| {\vec{n}}_{1} \| \| {\vec{n}}_{2} \|}$

🧩 Ángulo entre dos rectas

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✎ Problemas

Resuélvelos en tu cuaderno y pulsa «Ver solución» para autoevaluarte. Están ordenados de menor a mayor dificultad.

Dados $\vec{u} = (1, 2, - 1)$ y $\vec{v} = (2, 0, 3)$ , calcula:

$\vec{u} + \vec{v}$ y $3 \vec{u} - 2 \vec{v}$
$| \vec{u} |$ y $| \vec{v} |$
$\vec{u} \cdot \vec{v}$ y el ángulo que forman

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a) $(3, 2, 2)$ y $(- 1, 6, - 9)$ b) $\sqrt{6}$ y $\sqrt{13}$ c) $\vec{u} \cdot \vec{v} = - 1$ ; $cos α = - \frac{1}{\sqrt{78}}$ , $α \approx 96, 5^{\circ}$

Halla un vector unitario con la misma dirección y sentido que $\vec{w} = (2, - 3, 6)$ .

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$| \vec{w} | = 7$ , luego $\vec{w} / 7 = (\frac{2}{7}, - \frac{3}{7}, \frac{6}{7})$ .

Halla $k$ para que $\vec{a} = (1, k, 2)$ y $\vec{b} = (3, - 1, k)$ sean perpendiculares.

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$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 - k + 2 k = 3 + k = 0 \Rightarrow k = - 3$ .

Estudia si son linealmente dependientes:

$(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 2)$
$(1, 2, 3), (0, 1, 2), (0, 0, 1)$

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a) Dependientes: el determinante vale $0$ y $(1, 1, 2) = (1, 0, 1) + (0, 1, 1)$ b) Independientes: el determinante vale $1$ , forman una base

Calcula $\vec{u} \times \vec{v}$ para $\vec{u} = (1, 2, - 1)$ y $\vec{v} = (2, 0, 3)$ y comprueba que es perpendicular a ambos. Halla el área del paralelogramo que determinan.

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$\vec{u} \times \vec{v} = (6, - 5, - 4)$ . Comprobación: $\vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = 0$ y $\vec{v} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = 0$ . Área $= \sqrt{77}$ .

Halla el área del triángulo de vértices $A (1, 0, 0)$ , $B (0, 2, 0)$ y $C (0, 0, 3)$ .

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$\vec{A B} = (- 1, 2, 0)$ , $\vec{A C} = (- 1, 0, 3)$ , $\vec{A B} \times \vec{A C} = (6, 3, 2)$ , de módulo 7. Área $= \frac{7}{2}$ u².

Halla un vector unitario perpendicular a $(1, 1, 0)$ y a $(0, 1, 1)$ .

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$(1, 1, 0) \times (0, 1, 1) = (1, - 1, 1)$ , de módulo $\sqrt{3}$ . Los unitarios son $\pm \frac{1}{\sqrt{3}} (1, - 1, 1)$ .

Calcula el volumen del paralelepípedo y del tetraedro determinados por $\vec{a} = (1, 2, 0)$ , $\vec{b} = (0, 1, 3)$ , $\vec{c} = (2, 0, 1)$ .

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$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 13$ . Paralelepípedo: $13$ u³. Tetraedro: $\frac{13}{6}$ u³.

Halla $k$ para que los puntos $A (1, 0, 1)$ , $B (2, 1, 0)$ , $C (0, 2, 1)$ y $D (1, 1, k)$ sean coplanarios.

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$\vec{A B} = (1, 1, - 1)$ , $\vec{A C} = (- 1, 2, 0)$ , $\vec{A D} = (0, 1, k - 1)$ . $∣ \begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & k - 1 \end{matrix} ∣ = 3 k - 2 = 0 \Rightarrow k = \frac{2}{3}$ .

10.

Los puntos $A (1, 1, 1)$ , $B (2, 3, 1)$ y $C (3, 3, 4)$ son vértices consecutivos de un paralelogramo $A B C D$ . Halla $D$ y su área.

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$D = A + C - B = (2, 1, 4)$ . $\vec{A B} = (1, 2, 0)$ , $\vec{B C} = (1, 0, 3)$ , $\vec{A B} \times \vec{B C} = (6, - 3, - 2)$ . Área $= 7$ u².

11.

Escribe todas las formas de la ecuación de la recta que pasa por $A (1, 2, 3)$ y $B (3, 0, 4)$ .

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$\vec{d} = \vec{A B} = (2, - 2, 1)$ . Vectorial: $(x, y, z) = (1, 2, 3) + λ (2, - 2, 1)$ . Paramétricas: $x = 1 + 2 λ, y = 2 - 2 λ, z = 3 + λ$ . Continua: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 3}{1}$ . Implícitas: $x + y = 3$ y $x - 2 z = - 5$ .

12.

Halla un punto y un vector director de la recta $r : {\begin{matrix} x + y - z = 1 \\ 2 x - y + z = 2 \end{matrix}$ y escribe sus ecuaciones paramétricas.

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$\vec{d} = (1, 1, - 1) \times (2, - 1, 1) = (0, - 3, - 3) ∥ (0, 1, 1)$ . Sumando las ecuaciones, $x = 1$ y $y = z$ ; un punto es $(1, 0, 0)$ . Paramétricas: $x = 1, y = λ, z = λ$ .

13.

Halla la ecuación general del plano que pasa por $A (1, 0, 0)$ , $B (0, 2, 0)$ y $C (0, 0, 3)$ .

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$\vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A C} = (6, 3, 2)$ . Plano: $6 x + 3 y + 2 z = 6$ , es decir $x + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$ .

14.

Halla el plano que contiene a la recta $r : (x, y, z) = (1, 0, 2) + λ (1, 1, 0)$ y al punto $P (0, 1, 1)$ .

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$\vec{d} = (1, 1, 0)$ y $\vec{A P} = (- 1, 1, - 1)$ con $A (1, 0, 2)$ . $\vec{n} = \vec{d} \times \vec{A P} = (- 1, 1, 2)$ . Plano: $- x + y + 2 z = 3$ .

15.

Halla el plano que pasa por $P (1, 2, 3)$ y es perpendicular a la recta $\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$ .

Ver solución

$\vec{n} = \vec{d} = (2, - 1, 1)$ . Plano: $2 x - y + z = D$ con $2 - 2 + 3 = 3$ . Es $2 x - y + z = 3$ .

16.

Halla el ángulo que forman las rectas $r : (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ (1, 2, 2)$ y $s : (x, y, z) = (0, 1, 2) + μ (0, 3, 4)$ .

Ver solución

$cos α = \frac{| 6 + 8 |}{3 \cdot 5} = \frac{14}{15}$ , $α \approx 21, 0^{\circ}$ .

17.

Halla el ángulo que forma la recta $r : (1, 0, 0) + λ (1, 2, 2)$ con el plano $π : 2 x + y + 2 z = 5$ .

Ver solución

$sin α = \frac{| 2 + 2 + 4 |}{3 \cdot 3} = \frac{8}{9}$ , $α \approx 62, 7^{\circ}$ .

18.

Halla el ángulo entre los planos $x + y + z = 3$ y $2 x - y + 2 z = 1$ .

Ver solución

${\vec{n}}_{1} \cdot {\vec{n}}_{2} = 3$ , $| {\vec{n}}_{1} | = \sqrt{3}$ , $| {\vec{n}}_{2} | = 3$ . $cos α = \frac{1}{\sqrt{3}}$ , $α \approx 54, 7^{\circ}$ .

19.

Halla el plano que pasa por $P (1, 0, 2)$ y es perpendicular a los planos $π_{1} : x + y + z = 3$ y $π_{2} : x - y = 0$ .

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$\vec{n} = {\vec{n}}_{1} \times {\vec{n}}_{2} = (1, 1, 1) \times (1, - 1, 0) = (1, 1, - 2)$ . Plano: $x + y - 2 z + 3 = 0$ (se comprueba con $P$ ).