Unidad 7Derivadas y optimización

Contenidos

Aplicaciones de la derivada: problemas de optimización.

1. Concepto de derivada

La derivada de $f$ en $a$ es $f' (a) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} = lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$ cuando el límite existe y es finito. Es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto $(a, f (a))$ y la tasa de variación instantánea de $f$ en $a$ . El cociente $\frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ es la tasa de variación media en $[a, b]$ .

2. Reglas de derivación

Función	Derivada	Función	Derivada
$k$	$0$	$x^{n}$	$n x^{n - 1}$
$e^{x}$	$e^{x}$	$a^{x}$	$a^{x} ln a$
$ln x$	$\frac{1}{x}$	${log}_{a} x$	$\frac{1}{x ln a}$
$sin x$	$cos x$	$cos x$	$- sin x$
$tan x$	$\frac{1}{{cos}^{2} x} = 1 + {tan}^{2} x$	$arctan x$	$\frac{1}{1 + x^{2}}$
$arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$	$arccos x$	$\frac{- 1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Operaciones. $(f \pm g)' = f' \pm g'$ ; $(k f)' = k f'$ ; $(f g)' = f' g + f g'$ ; $(\frac{f}{g})' = \frac{f' g - f g'}{g^{2}}$ .

Regla de la cadena: $(f (g (x)))' = f' (g (x)) g' (x)$ . Por ejemplo $(sin (3 x^{2}))' = 6 x cos (3 x^{2})$ .

Derivación logarítmica. Para $y = f {(x)}^{g (x)}$ se toma $ln y = g (x) ln f (x)$ y se deriva: $\frac{y'}{y} = (g ln f)'$ .

3. Recta tangente y recta normal

En el punto $(a, f (a))$ :

Tangente: $y - f (a) = f' (a) (x - a)$ .
Normal (perpendicular a la tangente): $y - f (a) = - \frac{1}{f' (a)} (x - a)$ , si $f' (a) \neq 0$ .

🧩 Recta tangente y recta normal a una función

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4. Monotonía y extremos

Si $f' > 0$ en un intervalo, $f$ es creciente; si $f' < 0$ , es decreciente.
Un extremo relativo en $a$ exige $f' (a) = 0$ (punto crítico) y un cambio de signo de $f'$ : de $+$ a $-$ es un máximo; de $-$ a $+$ , un mínimo.
Criterio de la segunda derivada: si $f' (a) = 0$ y $f ″ (a) > 0$ hay un mínimo; si $f ″ (a) < 0$ , un máximo.

🧩 Monotonía y extremos

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5. Curvatura e inflexión

$f ″ > 0$ : $f$ es convexa (cóncava hacia arriba, forma de U).
$f ″ < 0$ : $f$ es cóncava (hacia abajo, forma de $\cap$ ).
Un punto de inflexión es donde cambia la curvatura: $f ″ (a) = 0$ y $f ″$ cambia de signo.

6. Problemas de optimización

Se identifica la magnitud que se quiere maximizar o minimizar y se escribe como función de una sola variable (usando la condición que las relaciona).
Se indica el dominio que tiene sentido en el problema.
Se calcula $f' (x) = 0$ y se comprueba qué punto crítico es máximo o mínimo (con $f ″$ o el signo de $f'$ ). Si el dominio es cerrado, se comparan también los extremos del intervalo.
Se responde a la pregunta con las unidades.

✎ Problemas

Resuélvelos en tu cuaderno y pulsa «Ver solución» para autoevaluarte. Están ordenados de menor a mayor dificultad.

Calcula la derivada de cada función:

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 7$
$f (x) = (x^{2} + 1) e^{x}$
$f (x) = ln (x^{2} + 1)$
$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$
$f (x) = sin (3 x^{2})$
$f (x) = \sqrt{1 + x^{2}}$
$f (x) = x^{x} (x > 0)$
$f (x) = arctan (2 x)$
$f (x) = e^{- x^{2}}$
$f (x) = {cos}^{2} x$
$f (x) = ln \frac{x + 1}{x - 1} (x > 1)$
$f (x) = \frac{ln x}{x^{2}} (x > 0)$

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a) $f' (x) = 3 x^{2} - 10 x + 2$ b) $f' (x) = {(x + 1)}^{2} e^{x}$ c) $f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ d) $f' (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ e) $f' (x) = 6 x cos (3 x^{2})$ f) $f' (x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ g) $f' (x) = x^{x} (1 + ln x)$ h) $f' (x) = \frac{2}{1 + 4 x^{2}}$ i) $f' (x) = - 2 x e^{- x^{2}}$ j) $f' (x) = - 2 sin x cos x = - sin 2 x$ k) $f' (x) = \frac{- 2}{x^{2} - 1}$ l) $f' (x) = \frac{1 - 2 ln x}{x^{3}}$

Halla la derivada de $f (x) = x^{2}$ en $x = 3$ aplicando la definición con límites.

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$f' (3) = {lim}_{h \to 0} \frac{{(3 + h)}^{2} - 9}{h} = {lim}_{h \to 0} \frac{6 h + h^{2}}{h} = {lim}_{h \to 0} (6 + h) = 6$ .

Un objeto se mueve según $s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t$ (en metros, $t$ en segundos). Halla su velocidad y aceleración en $t = 2$ s y los instantes en los que se detiene.

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$v (t) = s' (t) = 3 t^{2} - 12 t + 9$ , $v (2) = - 3$ m/s (se mueve hacia atrás). $a (t) = 6 t - 12$ , $a (2) = 0$ m/s². $v = 0 \Rightarrow t^{2} - 4 t + 3 = 0$ : se detiene en $t = 1$ s y $t = 3$ s.

Halla la tangente y la normal a $f (x) = x^{3} - 3 x$ en $x = 2$ .

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$f (2) = 2$ , $f' (x) = 3 x^{2} - 3$ , $f' (2) = 9$ . Tangente: $y - 2 = 9 (x - 2)$ , es decir $y = 9 x - 16$ . Normal: $y - 2 = - \frac{1}{9} (x - 2)$ .

Halla la tangente a $f (x) = ln x$ en el punto de abscisa $e$ .

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$f (e) = 1$ , $f' (e) = \frac{1}{e}$ . Tangente: $y - 1 = \frac{1}{e} (x - e)$ , es decir $y = \frac{x}{e}$ (pasa por el origen).

¿En qué punto de $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ la tangente es horizontal? ¿Y en qué punto es paralela a la recta $y = 4 x - 1$ ?

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$f' (x) = 2 x - 6$ . Horizontal: $x = 3$ , punto $(3, - 4)$ . Paralela a $y = 4 x - 1$ : $2 x - 6 = 4 \Rightarrow x = 5$ , punto $(5, 0)$ .

Halla $a$ y $b$ para que $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x$ tenga extremos relativos en $x = 1$ y en $x = 3$ . Clasifica los extremos.

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$f' (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b = 3 (x - 1) (x - 3) = 3 x^{2} - 12 x + 9$ , luego $a = - 6$ y $b = 9$ . $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ . $f ″ (x) = 6 x - 12$ : $f ″ (1) = - 6 < 0$ , máximo en $(1, 4)$ ; $f ″ (3) = 6 > 0$ , mínimo en $(3, 0)$ .

Estudia la monotonía, los extremos y la curvatura de $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ .

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$f' (x) = 3 (x - 1) (x - 3)$ : crece en $(- \infty, 1) \cup (3, \infty)$ y decrece en $(1, 3)$ . Máximo relativo $(1, 5)$ , mínimo relativo $(3, 1)$ . $f ″ (x) = 6 x - 12$ : cóncava en $(- \infty, 2)$ , convexa en $(2, \infty)$ ; punto de inflexión $(2, 3)$ .

Estudia la monotonía y los extremos de $f (x) = x e^{- x}$ y halla su punto de inflexión.

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$f' (x) = (1 - x) e^{- x}$ : crece si $x < 1$ , decrece si $x > 1$ ; máximo $(1, \frac{1}{e})$ . $f ″ (x) = (x - 2) e^{- x}$ : inflexión en $(2, \frac{2}{e^{2}})$ .

10.

Estudia la monotonía y los extremos de $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ .

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$f' (x) = \frac{1 - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ : decrece en $(- \infty, - 1)$ , crece en $(- 1, 1)$ , decrece en $(1, \infty)$ . Mínimo $(- 1, - \frac{1}{2})$ y máximo $(1, \frac{1}{2})$ .

11.

Entre todos los rectángulos de perímetro 40 cm, halla el de área máxima.

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Lados $x$ y $20 - x$ : $A (x) = x (20 - x)$ . $A' (x) = 20 - 2 x = 0 \Rightarrow x = 10$ ; $A ″ = - 2 < 0$ (máximo). Es el cuadrado de $10 \times 10$ cm, de área $100$ cm².

12.

Un ganadero dispone de 100 m de valla para cercar un terreno rectangular que limita con un muro (en ese lado no hace falta valla). ¿Qué dimensiones dan el área máxima?

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Lados $x$ (perpendiculares al muro) e $y = 100 - 2 x$ (paralelo). $A (x) = x (100 - 2 x)$ , $A' (x) = 100 - 4 x = 0 \Rightarrow x = 25$ m, $y = 50$ m. Área máxima $1250$ m².

13.

Con una lámina cuadrada de 12 cm de lado se hace una caja sin tapa recortando un cuadrado de lado $x$ en cada esquina. Halla $x$ para que el volumen sea máximo.

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$V (x) = x {(12 - 2 x)}^{2}$ , con $0 < x < 6$ . $V' (x) = (12 - 2 x) (12 - 6 x) = 0 \Rightarrow x = 2$ (el valor $x = 6$ no vale). $V ″ (2) < 0$ : máximo. $V (2) = 128$ cm³.

14.

Halla el punto de la curva $y = \sqrt{x}$ más próximo al punto $(3, 0)$ .

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Se minimiza el cuadrado de la distancia: $d^{2} (x) = {(x - 3)}^{2} + x$ . $(d^{2})' = 2 x - 6 + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2}$ . Punto $(\frac{5}{2}, \sqrt{5 / 2})$ y distancia mínima $\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{11}}{2} \approx 1, 66$ .

15.

Se quiere fabricar una lata cilíndrica de 1 litro (1000 cm³). Halla el radio y la altura que minimizan el material (la superficie total).

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$V = π r^{2} h = 1000 \Rightarrow h = \frac{1000}{π r^{2}}$ . $S (r) = 2 π r^{2} + \frac{2000}{r}$ , $S' (r) = 4 π r - \frac{2000}{r^{2}} = 0 \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{500}{π}} \approx 5, 42$ cm, y $h = 2 r \approx 10, 84$ cm. $S ″ > 0$ : mínimo.

16.

El coste de producir $x$ unidades es $C (x) = 0, 01 x^{2} + 4 x + 500$ € y el precio de venta unitario es $p (x) = 20 - 0, 02 x$ €. Halla el número de unidades que maximiza el beneficio.

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Ingreso $I (x) = x (20 - 0, 02 x)$ . Beneficio $B (x) = I - C = - 0, 03 x^{2} + 16 x - 500$ . $B' (x) = - 0, 06 x + 16 = 0 \Rightarrow x \approx 266, 7$ . $B ″ < 0$ : máximo. Hay que producir unas 267 unidades.