Unidad 9Estudio y representación de funciones

Contenidos

Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas a partir de sus propiedades locales y globales.

1. Esquema de estudio

Para representar $y = f (x)$ se sigue este orden:

Dominio. Valores de $x$ donde $f$ está definida (denominadores no nulos, radicandos $\geq 0$ en raíces pares, argumentos $> 0$ en logaritmos).
Simetría. Par si $f (- x) = f (x)$ (simétrica respecto del eje $Y$ ); impar si $f (- x) = - f (x)$ (simétrica respecto del origen). Periodicidad en las trigonométricas.
Puntos de corte. Con el eje $Y$ : $f (0)$ . Con el eje $X$ : $f (x) = 0$ .
Asíntotas. Verticales, horizontales y oblicuas (unidad 6).
Monotonía y extremos. Signo de $f'$ y puntos críticos.
Curvatura e inflexión. Signo de $f ″$ y puntos con $f ″ = 0$ .
Tabla de valores de apoyo y dibujo, marcando todo lo anterior.

🧩 Curvatura y puntos de inflexión

2. Polinómicas

Dominio $ℝ$ , sin asíntotas. El comportamiento en $\pm \infty$ lo da el término de mayor grado. Un polinomio de grado $n$ tiene como máximo $n$ raíces, $n - 1$ extremos y $n - 2$ inflexiones.

🧩 Funciones polinómicas

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3. Racionales

$f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}$ . Dominio: $Q (x) \neq 0$ . Asíntotas verticales en las raíces de $Q$ que no anula $P$ (si $P$ y $Q$ comparten un factor, hay un agujero en ese punto). Horizontal o oblicua según los grados.

4. Irracionales

Con raíces: el dominio exige radicando $\geq 0$ en las raíces de índice par. Pueden tener asíntotas oblicuas, por ejemplo $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ tiende a $y = | x |$ .

🧩 Funciones radicales

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5. Exponenciales y logarítmicas

$f (x) = a^{x}$ ( $a > 0$ , $a \neq 1$ ): dominio $ℝ$ , siempre positiva, asíntota horizontal $y = 0$ (en $- \infty$ si $a > 1$ ). Pasa por $(0, 1)$ .
$f (x) = {log}_{a} x$ : dominio $(0, \infty)$ , asíntota vertical $x = 0$ . Pasa por $(1, 0)$ . Es la inversa de $a^{x}$ (simétrica respecto de $y = x$ ).
En funciones como $x e^{x}$ , $x^{2} e^{- x}$ o $\frac{ln x}{x}$ , las asíntotas horizontales se obtienen comparando órdenes de infinito (o con L’Hôpital).

6. Trigonométricas

$sin x$ y $cos x$ son periódicas de periodo $2 π$ , acotadas entre $- 1$ y $1$ . $tan x$ tiene periodo $π$ y asíntotas verticales en $x = \frac{π}{2} + k π$ . En $f (x) = A sin (b x + c)$ : amplitud $| A |$ y periodo $\frac{2 π}{| b |}$ . En combinaciones como $x - 2 sin x$ se estudia en un intervalo, por ejemplo $[0, 2 π]$ .

🧩 Funciones trigonométricas

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7. Transformaciones

A partir de $y = f (x)$ : $f (x) + k$ desplaza la gráfica $k$ unidades en vertical; $f (x - h)$ , $h$ unidades en horizontal; $- f (x)$ la refleja respecto del eje $X$ ; $f (- x)$ , respecto del eje $Y$ ; $k f (x)$ la estira verticalmente.

✎ Problemas

Resuélvelos en tu cuaderno y pulsa «Ver solución» para autoevaluarte. Están ordenados de menor a mayor dificultad.

Estudia y representa $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ .

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Dominio $ℝ$ ; sin simetría; cortes $(0, 0)$ y $(3, 0)$ ; sin asíntotas. $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ : máximo $(0, 0)$ , mínimo $(2, - 4)$ ; crece en $(- \infty, 0) \cup (2, \infty)$ y decrece en $(0, 2)$ . $f ″ (x) = 6 x - 6$ : inflexión en $(1, - 2)$ ; cóncava en $(- \infty, 1)$ y convexa en $(1, \infty)$ . $f \to - \infty$ si $x \to - \infty$ y $f \to + \infty$ si $x \to + \infty$ .

Estudia y representa $f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$ .

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Dominio $ℝ$ ; par; cortes $(0, 0)$ y $(\pm \sqrt{2}, 0)$ . $f' (x) = 4 x (x^{2} - 1)$ : mínimos $(\pm 1, - 1)$ y máximo $(0, 0)$ . $f ″ (x) = 12 x^{2} - 4$ : inflexiones en $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ , con $f = - \frac{5}{9}$ ; convexa si $| x | > \frac{1}{\sqrt{3}}$ y cóncava en el centro. $f \to + \infty$ en ambos extremos.

Estudia y representa $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ .

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Dominio $ℝ \ {1}$ ; corte $(0, 0)$ . Asíntota vertical $x = 1$ (con $f \to - \infty$ por la izquierda y $+ \infty$ por la derecha) y oblicua $y = x + 1$ , pues $\frac{x^{2}}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ . $f' (x) = \frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ : máximo $(0, 0)$ y mínimo $(2, 4)$ . $f ″ (x) = \frac{2}{{(x - 1)}^{3}}$ : convexa si $x > 1$ , cóncava si $x < 1$ ; sin inflexiones.

Estudia y representa $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

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Dominio $ℝ$ ; impar; corte $(0, 0)$ ; asíntota horizontal $y = 0$ . $f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ : mínimo $(- 1, - 1)$ y máximo $(1, 1)$ . $f ″ (x) = \frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ : inflexiones en $x = 0$ y $x = \pm \sqrt{3}$ .

Estudia y representa $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4}$ .

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Dominio $ℝ \ {\pm 2}$ ; par; corte con $Y$ en $(0, - \frac{1}{4})$ ; sin cortes con $X$ . Asíntotas verticales $x = \pm 2$ y horizontal $y = 0$ . $f' (x) = \frac{- 2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ : crece en $(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0)$ y decrece en $(0, 2) \cup (2, \infty)$ ; máximo local $(0, - \frac{1}{4})$ . Sin inflexiones.

Estudia y representa $f (x) = \frac{x^{2} + x - 2}{x - 1}$ . ¿Tiene alguna asíntota vertical?

Ver solución

Como $x^{2} + x - 2 = (x - 1) (x + 2)$ , $f (x) = x + 2$ para $x \neq 1$ : es una recta con un agujero en $(1, 3)$ . No hay asíntota vertical (discontinuidad evitable en $x = 1$ ).

Estudia y representa $f (x) = x e^{x}$ .

Ver solución

Dominio $ℝ$ ; corte $(0, 0)$ ; asíntota horizontal $y = 0$ cuando $x \to - \infty$ ; $f \to + \infty$ cuando $x \to + \infty$ . $f' (x) = (1 + x) e^{x}$ : mínimo $(- 1, - \frac{1}{e})$ . $f ″ (x) = (x + 2) e^{x}$ : inflexión $(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$ .

Estudia y representa $f (x) = x^{2} e^{- x}$ .

Ver solución

Dominio $ℝ$ ; corte $(0, 0)$ ; asíntota horizontal $y = 0$ cuando $x \to + \infty$ . $f' (x) = (2 x - x^{2}) e^{- x}$ : mínimo $(0, 0)$ y máximo $(2, \frac{4}{e^{2}})$ . $f ″ (x) = (x^{2} - 4 x + 2) e^{- x}$ : inflexiones en $x = 2 \pm \sqrt{2}$ .

Estudia y representa $f (x) = \frac{ln x}{x}$ .

Ver solución

Dominio $(0, \infty)$ ; corte $(1, 0)$ . Asíntota vertical $x = 0$ ( $f \to - \infty$ ) y horizontal $y = 0$ cuando $x \to + \infty$ . $f' (x) = \frac{1 - ln x}{x^{2}}$ : máximo $(e, \frac{1}{e})$ . $f ″ (x) = \frac{2 ln x - 3}{x^{3}}$ : inflexión en $x = e^{3 / 2}$ .

10.

Estudia y representa $f (x) = ln (x^{2} + 1)$ .

Ver solución

Dominio $ℝ$ ; par; corte $(0, 0)$ ; sin asíntotas (crece muy lentamente hacia $+ \infty$ ). $f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ : mínimo $(0, 0)$ . $f ″ (x) = \frac{2 (1 - x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ : inflexiones en $(\pm 1, ln 2)$ .

11.

Estudia y representa $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ (dominio, asíntotas, monotonía).

Ver solución

Dominio $(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$ ; par; cortes $(\pm 2, 0)$ . Asíntotas oblicuas $y = x$ (en $+ \infty$ ) e $y = - x$ (en $- \infty$ ). $f' (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ : crece para $x > 2$ y decrece para $x < - 2$ ; tangente vertical en $x = \pm 2$ .

12.

Estudia $f (x) = x \sqrt{1 - x^{2}}$ : dominio, simetría, extremos y representación.

Ver solución

Dominio $[- 1, 1]$ ; impar; cortes en $x = 0, \pm 1$ . $f' (x) = \frac{1 - 2 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ : máximo $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2})$ y mínimo $(- \frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{2})$ . Tangentes verticales en $x = \pm 1$ .

13.

Estudia y representa $f (x) = sin x + cos x$ en $[0, 2 π]$ .

Ver solución

Se escribe $f (x) = \sqrt{2} sin (x + \frac{π}{4})$ : amplitud $\sqrt{2}$ y periodo $2 π$ . Cortes con $X$ : $x = \frac{3 π}{4}$ y $x = \frac{7 π}{4}$ ; con $Y$ : $(0, 1)$ . Máximo $(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$ y mínimo $(\frac{5 π}{4}, - \sqrt{2})$ . Inflexiones en los cortes con $X$ (porque $f ″ = - f$ ).

14.

Estudia y representa $f (x) = x - 2 sin x$ en $[0, 2 π]$ .

Ver solución

$f' (x) = 1 - 2 cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{3}$ (mínimo, $f = \frac{π}{3} - \sqrt{3} \approx - 0, 69$ ) y $x = \frac{5 π}{3}$ (máximo, $f = \frac{5 π}{3} + \sqrt{3} \approx 6, 97$ ). $f ″ (x) = 2 sin x$ : inflexión en $x = π$ , $f (π) = π$ . Corte en $(0, 0)$ .

15.

Halla $a$ , $b$ y $c$ para que $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ pase por $(0, 1)$ , tenga un máximo relativo en $x = 1$ y un punto de inflexión en $x = 2$ .

Ver solución

$f (0) = 1 \Rightarrow c = 1$ . $f' (1) = 3 + 2 a + b = 0$ . $f ″ (2) = 12 + 2 a = 0 \Rightarrow a = - 6$ , y entonces $b = 9$ . $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ (la función estudiada en la unidad 7).

16.

A partir de la gráfica de $f (x) = e^{x}$ , describe y representa: a) $g (x) = e^{x - 2}$ ; b) $h (x) = - e^{x} + 3$ ; c) $k (x) = e^{- x}$ .

Ver solución

Desplazamiento de 2 unidades a la derecha; asíntota $y = 0$ . b) Reflexión respecto del eje $X$ y desplazamiento de 3 unidades hacia arriba; asíntota $y = 3$ . c) Reflexión respecto del eje $Y$ ; asíntota $y = 0$ en $+ \infty$ .