Unidad 5Proyecciones, simetrías y distancias

Contenidos

Proyecciones ortogonales y simetrías de puntos y rectas.
Distancias entre puntos y de un punto a un plano.
Áreas y volúmenes.

1. Distancias

Entre dos puntos: $d (A, B) = | \vec{A B} | = \sqrt{{(b_{1} - a_{1})}^{2} + {(b_{2} - a_{2})}^{2} + {(b_{3} - a_{3})}^{2}}$ .
De un punto a un plano: para $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ y $π : A x + B y + C z + D = 0$ , $d (P, π) = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$
Entre dos planos paralelos: es la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro.
Entre una recta y un plano paralelos: es la distancia de un punto de la recta al plano.

🧩 Distancia de un punto a un plano

Los lugares geométricos se obtienen igualando distancias. Los puntos equidistantes de $A$ y $B$ forman el plano mediador, perpendicular a $\vec{A B}$ por su punto medio.

2. Proyección ortogonal de un punto

Sobre un plano $π$ . La proyección $P'$ de $P$ es el pie de la perpendicular a $π$ por $P$ :

Se escribe la recta $r$ que pasa por $P$ con director $\vec{n}$ (normal de $π$ ).
$P' = r \cap π$ .

La distancia de $P$ al plano es $| P P' |$ .

🧩 Proyección ortogonal de un punto sobre un plano

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Sobre una recta $r$ . La proyección $P'$ es el pie de la perpendicular a $r$ por $P$ :

Se escribe el plano $π$ que pasa por $P$ con normal ${\vec{d}}_{r}$ .
$P' = r \cap π$ .

Equivale a imponer que $\vec{P P'} \cdot {\vec{d}}_{r} = 0$ con $P'$ un punto genérico de $r$ . La distancia de $P$ a $r$ es $| P P' |$ .

🧩 Proyección ortogonal de un punto sobre una recta

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3. Proyección de una recta sobre un plano

Si $r$ no es perpendicular a $π$ , su proyección es una recta. Se halla como intersección de $π$ con el plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $π$ (con normal ${\vec{d}}_{r} \times \vec{n}$ ). También sirve proyectar dos puntos de $r$ .

🧩 Proyección ortogonal de una recta sobre un plano

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4. Simetrías

El simétrico $P ″$ de $P$ respecto de un elemento es el punto tal que ese elemento corta perpendicularmente a $\bar{P P ″}$ en su punto medio.

Respecto de	Cómo se obtiene
Un punto $Q$	$P ″ = 2 Q - P$
Una recta	Se halla la proyección $P'$ de $P$ sobre la recta y $P ″ = 2 P' - P$
Un plano	Se halla la proyección $P'$ de $P$ sobre el plano y $P ″ = 2 P' - P$

5. Áreas y volúmenes

Área del triángulo $A B C$ : $\frac{1}{2} | \vec{A B} \times \vec{A C} |$ . Paralelogramo: $| \vec{A B} \times \vec{A D} |$ .
Volumen del tetraedro $A B C D$ : $\frac{1}{6} | [\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}] |$ . Paralelepípedo: $| [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] |$ .
Altura de un tetraedro sobre la cara $A B C$ : $h = \frac{3 V}{Área (A B C)}$ , que coincide con la distancia del cuarto vértice al plano $A B C$ .

✎ Problemas

Resuélvelos en tu cuaderno y pulsa «Ver solución» para autoevaluarte. Están ordenados de menor a mayor dificultad.

Calcula la distancia entre $A (1, 2, 3)$ y $B (4, 6, 3)$ y el punto medio del segmento $A B$ .

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$\vec{A B} = (3, 4, 0)$ , $d = 5$ . Punto medio $(\frac{5}{2}, 4, 3)$ .

Calcula la distancia del punto $P (1, 2, 3)$ al plano $2 x - 2 y + z = 4$ .

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$d = \frac{| 2 - 4 + 3 - 4 |}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{3}{3} = 1$ .

Calcula la distancia entre los planos paralelos $x + 2 y - 2 z = 3$ y $x + 2 y - 2 z = - 6$ .

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Es $\frac{| 3 - (- 6) |}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{9}{3} = 3$ .

Halla los puntos del eje $O X$ que distan 2 unidades del plano $2 x + y - 2 z + 1 = 0$ .

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$(x, 0, 0)$ : $\frac{| 2 x + 1 |}{3} = 2 \Rightarrow 2 x + 1 = \pm 6$ . Resulta $x = \frac{5}{2}$ y $x = - \frac{7}{2}$ .

Halla la proyección ortogonal, el simétrico de $P (1, 2, 3)$ respecto del plano $π : x + y + z = 3$ y la distancia de $P$ a $π$ .

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Recta por $P$ : $(1 + λ, 2 + λ, 3 + λ)$ . En $π$ : $6 + 3 λ = 3 \Rightarrow λ = - 1$ . Proyección $P' = (0, 1, 2)$ . Simétrico $P ″ = 2 P' - P = (- 1, 0, 1)$ . Distancia $| P P' | = \sqrt{3}$ .

Halla la proyección de $P (2, 3, 1)$ sobre la recta $r : (1, 0, 0) + λ (1, 1, 0)$ , su distancia a $r$ y su simétrico respecto de $r$ .

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Punto genérico $Q (1 + λ, λ, 0)$ : $\vec{P Q} \cdot (1, 1, 0) = (- 1 + λ) + (λ - 3) = 2 λ - 4 = 0 \Rightarrow λ = 2$ . Proyección $P' = (3, 2, 0)$ . Distancia $| (1, - 1, - 1) | = \sqrt{3}$ . Simétrico $2 P' - P = (4, 1, - 1)$ .

Halla el simétrico de $P (1, 2, 3)$ respecto del punto $Q (2, 0, - 1)$ .

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$P ″ = 2 Q - P = (3, - 2, - 5)$ .

Halla la proyección ortogonal de la recta $r : (1, 0, 0) + λ (0, 1, 1)$ sobre el plano $π : x + y + z = 3$ .

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$r \cap π$ : $1 + 2 λ = 3 \Rightarrow λ = 1$ , punto $Q (1, 1, 1)$ . Proyección de $A (1, 0, 0)$ : $(1, 0, 0) - μ (1, 1, 1)$ con $1 - 3 μ = 3$ , $μ = - \frac{2}{3}$ , $A' = (\frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ . Dirección $A' - Q = (\frac{2}{3}, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}) ∥ (2, - 1, - 1)$ . Recta: $(1, 1, 1) + t (2, - 1, - 1)$ .

Halla el área del triángulo de vértices $A (1, 2, 3)$ , $B (3, 3, 5)$ y $C (2, 5, 4)$ .

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$\vec{A B} = (2, 1, 2)$ , $\vec{A C} = (1, 3, 1)$ , $\vec{A B} \times \vec{A C} = (- 5, 0, 5)$ . Área $= \frac{1}{2} \cdot 5 \sqrt{2} = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ u².

10.

Halla el volumen del tetraedro de vértices $A (1, 1, 0)$ , $B (0, 1, 1)$ , $C (1, 0, 1)$ , $D (1, 1, 1)$ , el área de la cara $A B C$ y la altura desde $D$ .

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$\vec{A B} = (- 1, 0, 1)$ , $\vec{A C} = (0, - 1, 1)$ , $\vec{A D} = (0, 0, 1)$ . $[] = 1 \Rightarrow V = \frac{1}{6}$ u³. $\vec{A B} \times \vec{A C} = (1, 1, 1)$ : área $= \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Altura $h = \frac{3 V}{Área} = \frac{1 / 2}{\sqrt{3} / 2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

11.

La recta $r : (1, 1, 1) + λ (4, 3, 0)$ es paralela al plano $3 x - 4 y + 12 z = 37$ . Comprueba el paralelismo y calcula la distancia entre la recta y el plano.

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$\vec{d} \cdot \vec{n} = 12 - 12 + 0 = 0$ , y $(1, 1, 1) \notin π$ . La distancia es la de $(1, 1, 1)$ al plano: $\frac{| 3 - 4 + 12 - 37 |}{13} = \frac{26}{13} = 2$ .

12.

Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de $A (1, 2, 3)$ y $B (3, 0, 1)$ .

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Igualando $d {(P, A)}^{2} = d {(P, B)}^{2}$ se obtiene el plano mediador $x - y - z + 1 = 0$ (perpendicular a $\vec{A B}$ por el punto medio $(2, 1, 2)$ ).

13.

Halla el simétrico del origen respecto del plano $2 x - y + 2 z = 18$ .

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Recta por $O$ con director $(2, - 1, 2)$ : $(2 λ, - λ, 2 λ)$ . En el plano: $9 λ = 18 \Rightarrow λ = 2$ . Proyección $(4, - 2, 4)$ . Simétrico $(8, - 4, 8)$ .

14.

Una pirámide tiene base el triángulo de vértices $A (0, 0, 0)$ , $B (4, 0, 0)$ , $C (0, 3, 0)$ y vértice $V (0, 0, 5)$ . Calcula su volumen y la distancia de $V$ al plano de la base.

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$[\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A V}] = ∣ \begin{matrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix} ∣ = 60$ . $V = \frac{60}{6} = 10$ u³. La base está en $z = 0$ : la distancia es 5.