Unidad 6Límites de funciones y continuidad

Contenidos

Límite de una función en un punto y en el infinito.
Continuidad de una función. Tipos de discontinuidad.
Teorema de Bolzano.

1. Límite en un punto

${lim}_{x \to a} f (x) = L$ significa que $f (x)$ se acerca tanto como se quiera a $L$ cuando $x$ se acerca a $a$ (sin importar el valor en $a$ ni si está definida allí).

Existen los límites laterales: ${lim}_{x \to a^{-}} f (x)$ (por la izquierda) y ${lim}_{x \to a^{+}} f (x)$ (por la derecha). El límite existe si y solo si ambos existen y coinciden.

Propiedades. El límite de una suma, producto o cociente (con denominador no nulo) es la suma, producto o cociente de los límites. En funciones elementales en su dominio, el límite se calcula sustituyendo.

🧩 Interpretación gráfica del límite en el infinito

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2. Cálculo de límites e indeterminaciones

Al sustituir puede aparecer una indeterminación: $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, 0 \cdot \infty, 1^{\infty}$ .

Caso	Método
$\frac{k}{0}$ , $k \neq 0$	No es indeterminación. Se estudian los límites laterales: el resultado es $+ \infty$ , $- \infty$ o no existe
$\frac{0}{0}$ (polinomios)	Se factoriza y se simplifica el factor $(x - a)$
$\frac{0}{0}$ (raíces)	Se multiplica numerador y denominador por el conjugado
$\frac{\infty}{\infty}$ en $x \to \infty$	Se divide por la mayor potencia o se comparan grados
$\infty - \infty$	Conjugado (con raíces) o denominador común
$1^{\infty}$	$lim f^{g} = e^{lim g (f - 1)}$

Cocientes de polinomios en el infinito. Si $gr P < gr Q$ el límite es 0; si son iguales es el cociente de los coeficientes principales; si $gr P > gr Q$ es $\pm \infty$ .

Órdenes de infinito. Cuando $x \to + \infty$ : $ln x ≪ x^{n} ≪ a^{x} ≪ x!$ (con $a > 1$ ).

Límites notables: ${lim}_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$ y ${lim}_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = e$ .

🧩 El número e

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3. Asíntotas

Vertical $x = a$ : si ${lim}_{x \to a^{\pm}} f (x) = \pm \infty$ .
Horizontal $y = b$ : si ${lim}_{x \to \pm \infty} f (x) = b$ .
Oblicua $y = m x + n$ (si no hay horizontal): $m = {lim}_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x} \neq 0$ y $n = {lim}_{x \to \infty} (f (x) - m x)$ . En una función racional con $gr P = gr Q + 1$ , se obtiene dividiendo.

4. Continuidad

$f$ es continua en $a$ si se cumplen las tres condiciones:

existe $f (a)$ ,
existe ${lim}_{x \to a} f (x)$ ,
${lim}_{x \to a} f (x) = f (a)$ .

Las funciones polinómicas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en su dominio, y también las sumas, productos, cocientes y composiciones de funciones continuas. En una función a trozos hay que estudiar la continuidad en los puntos de unión con los límites laterales.

Tipos de discontinuidad

Tipo	Descripción
Evitable	Existe el límite $L$ pero $f (a) \neq L$ o no está definida. Se evita definiendo $f (a) = L$
Salto finito	Los límites laterales existen y son finitos pero distintos. El salto es $\| L_{+} - L_{-} \|$
Salto infinito (asintótica)	Alguno de los límites laterales es $\pm \infty$

🧩 Tipos de discontinuidad

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5. Teorema de Bolzano

Si $f$ es continua en $[a, b]$ y $f (a) \cdot f (b) < 0$ (signos distintos), entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ con $f (c) = 0$ .

Sirve para demostrar que existe una raíz de una ecuación en un intervalo, sin calcularla. Hay que comprobar siempre la continuidad en el intervalo cerrado. Aplicado repetidamente (bisección) permite aproximar la raíz.

Ejemplo. $f (x) = x^{3} + x - 1$ es continua. $f (0) = - 1 < 0$ y $f (1) = 1 > 0$ , luego hay una raíz en $(0, 1)$ .

✎ Problemas

Resuélvelos en tu cuaderno y pulsa «Ver solución» para autoevaluarte. Están ordenados de menor a mayor dificultad.

Calcula los límites:

${lim}_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$
${lim}_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 5 x + 6}$
${lim}_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$
${lim}_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$

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a) $4$ b) $\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x - 2) (x - 3)} \to \frac{6}{1} = 6$ c) Con el conjugado: $\frac{x}{x (\sqrt{x + 4} + 2)} \to \frac{1}{4}$ d) $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} \to \frac{3}{2}$

Calcula los límites en el infinito:

${lim}_{x \to \infty} \frac{3 x^{2} - x + 1}{2 x^{2} + 5}$
${lim}_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 1}{x^{2} + x}$
${lim}_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{x^{2} + 3}$
${lim}_{x \to - \infty} \frac{x^{3}}{x^{2} + 1}$

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a) $\frac{3}{2}$ b) $+ \infty$ c) $0$ d) $- \infty$

Calcula los límites con indeterminación $\infty - \infty$ :

${lim}_{x \to \infty} (\sqrt{x^{2} + x} - x)$
${lim}_{x \to \infty} (\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 1})$
${lim}_{x \to 1} (\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x^{2} - 1})$

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a) Conjugado: $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + x} \to \frac{1}{2}$ b) Conjugado: $\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} - 1}} \to 0$ c) $\frac{x + 1 - 2}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{1}{x + 1} \to \frac{1}{2}$

Calcula los límites del tipo $1^{\infty}$ :

${lim}_{x \to \infty} {(1 + \frac{2}{x})}^{x}$
${lim}_{x \to \infty} {(\frac{x}{x + 1})}^{x}$
${lim}_{x \to \infty} {(\frac{2 x + 1}{2 x - 1})}^{x}$
${lim}_{x \to 0} {(1 + 3 x)}^{1 / x}$

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a) $e^{2}$ b) $e^{- 1} = \frac{1}{e}$ c) $e^{lim x \cdot \frac{2}{2 x - 1}} = e$ d) $e^{3}$

Calcula, usando ${lim}_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$ :

${lim}_{x \to 0} \frac{sin 3 x}{x}$
${lim}_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x^{2}}$
${lim}_{x \to 0} \frac{tan x}{x}$

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a) $3$ b) Multiplicando por $1 + cos x$ : $\frac{{sin}^{2} x}{x^{2} (1 + cos x)} \to \frac{1}{2}$ c) $\frac{sin x}{x} \cdot \frac{1}{cos x} \to 1$

Calcula los límites laterales en $x = 1$ de $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ y en $x = 0$ de $g (x) = \frac{| x |}{x}$ . ¿Existen los límites?

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$f$ : por la izquierda $- \infty$ , por la derecha $+ \infty$ ; no existe el límite. $g$ : por la izquierda $- 1$ , por la derecha $1$ ; no existe el límite.

Halla las asíntotas de:

$f (x) = \frac{3 x - 1}{x + 2}$
$g (x) = \frac{2 x^{2} + 1}{x - 1}$
$h (x) = \frac{x}{x^{2} - 4}$
$k (x) = e^{- x} + 1$

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a) Vertical $x = - 2$ ; horizontal $y = 3$ b) Vertical $x = 1$ ; oblicua $y = 2 x + 2$ (pues $\frac{2 x^{2} + 1}{x - 1} = 2 x + 2 + \frac{3}{x - 1}$ ) c) Verticales $x = \pm 2$ ; horizontal $y = 0$ d) Horizontal $y = 1$ cuando $x \to + \infty$ ; no hay vertical ni oblicua

Halla $k$ para que $f (x) = {\begin{matrix} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} & x \neq 1 \\ k & x = 1 \end{matrix}$ sea continua en $x = 1$ .

Ver solución

Para $x \neq 1$ , $f (x) = x + 1$ , así que ${lim}_{x \to 1} f (x) = 2$ . Debe ser $k = 2$ .

Halla $a$ para que $f (x) = {\begin{matrix} 2 x + a & x < 1 \\ x^{2} + 3 & x \geq 1 \end{matrix}$ sea continua en $ℝ$ .

Ver solución

En $x = 1$ : ${lim}_{x \to 1^{-}} f = 2 + a$ , ${lim}_{x \to 1^{+}} f = f (1) = 4$ . Igualando: $a = 2$ .

10.

Halla $a$ y $b$ para que $f (x) = {\begin{matrix} x + 1 & x < 1 \\ a x + b & 1 \leq x < 3 \\ 5 & x \geq 3 \end{matrix}$ sea continua en $ℝ$ .

Ver solución

En $x = 1$ : $2 = a + b$ . En $x = 3$ : $3 a + b = 5$ . Restando: $2 a = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{2}$ , $b = \frac{1}{2}$ .

11.

Clasifica las discontinuidades de:

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ en $x = 1$
$g (x) = \frac{1}{x - 2}$ en $x = 2$
$h (x) = {\begin{matrix} x + 1 & x < 0 \\ x^{2} + 2 & x \geq 0 \end{matrix}$ en $x = 0$
$k (x) = \frac{sin x}{x}$ en $x = 0$

Ver solución

a) Evitable: el límite es 2 pero $f (1)$ no existe b) Salto infinito (asíntota vertical $x = 2$ ) c) Salto finito de valor $| 2 - 1 | = 1$ d) Evitable: el límite es 1; se evita definiendo $k (0) = 1$

12.

Estudia el dominio y la continuidad de $f (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{x^{2} - x - 2}$ y clasifica sus discontinuidades.

Ver solución

Dominio: $x \geq - 1$ y $x^{2} - x - 2 \neq 0$ , es decir $x \neq 2$ y $x \neq - 1$ : $(- 1, 2) \cup (2, \infty)$ . Es continua en su dominio. En $x = 2$ : salto infinito ( $\frac{\sqrt{3}}{0}$ , asíntota vertical). En $x = - 1$ : es el extremo del dominio y $\frac{\sqrt{x + 1}}{(x + 1) (x - 2)} = \frac{1}{\sqrt{x + 1} (x - 2)} \to - \infty$ por la derecha: asíntota vertical.

13.

Demuestra que la ecuación $x^{3} + x - 1 = 0$ tiene una solución en $(0, 1)$ y aproxímala con un decimal por bisección.

Ver solución

$f (0) = - 1 < 0$ y $f (1) = 1 > 0$ ; $f$ es continua. Bolzano garantiza una raíz en $(0, 1)$ . $f (0, 5) = - 0, 375 < 0$ , $f (0, 75) = 0, 17 > 0$ , $f (0, 6) = - 0, 184 < 0$ , $f (0, 7) = 0, 043 > 0$ : la raíz está en $(0, 6; 0, 7)$ , aproximadamente $0, 68$ .

14.

Demuestra que la ecuación $cos x = x$ tiene solución en $(0, 1)$ .

Ver solución

Sea $f (x) = cos x - x$ , continua. $f (0) = 1 > 0$ y $f (1) = cos 1 - 1 \approx - 0, 46 < 0$ . Por Bolzano existe $c \in (0, 1)$ con $f (c) = 0$ .

15.

Demuestra que $x^{5} - 3 x + 1 = 0$ tiene al menos tres raíces reales.

Ver solución

$f (- 2) = - 25 < 0$ , $f (- 1) = 3 > 0$ , $f (0) = 1 > 0$ , $f (1) = - 1 < 0$ , $f (2) = 27 > 0$ . Hay cambio de signo en $(- 2, - 1)$ , $(0, 1)$ y $(1, 2)$ : por Bolzano, al menos una raíz en cada intervalo.

16.

Un ciclista sale de A a las 8:00 y llega a B a las 12:00 por un camino. Al día siguiente vuelve de B a A por el mismo camino, saliendo a las 8:00 y llegando a las 12:00. Demuestra que hay un punto del camino por el que pasa a la misma hora los dos días.

Ver solución

Sean $a (t)$ y $b (t)$ las distancias a A el primer y el segundo día en el instante $t \in [8, 12]$ ; son continuas. $a (8) = 0$ , $a (12) = D$ , $b (8) = D$ , $b (12) = 0$ , con $D$ la longitud del camino. Sea $h = a - b$ : $h (8) = - D < 0$ y $h (12) = D > 0$ . Por Bolzano existe $t_{0}$ con $h (t_{0}) = 0$ , es decir, a esa hora está en el mismo punto los dos días.