Unidad 2Sistemas de ecuaciones lineales

1. Sistemas y representación matricial

Un sistema lineal de $m$ ecuaciones y $n$ incógnitas es $$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+\dots +a_{1n}{x}_n=b_1\hfill \\ ⋮\hfill \\ a_{m1}{x}_1+\dots +a_{mn}{x}_n=b_m\hfill \end{array}\iff AX=B$$ donde $A$ es la matriz de coeficientes, $X$ la columna de incógnitas y $B$ la de términos independientes. La matriz ampliada es $A^{*}=(A|B)$.

Un sistema es homogéneo si $B=0$. Siempre tiene la solución trivial $X=0$.

Sistemas equivalentes. Tienen las mismas soluciones. No se alteran al intercambiar ecuaciones, multiplicar una por un número no nulo o sumar a una un múltiplo de otra.

2. Discusión: teorema de Rouché-Frobenius

Sea $n$ el número de incógnitas.

Interpretación geométrica en ${ℝ}^3$: cada ecuación es un plano. Un SCD corresponde a tres planos que se cortan en un punto; un SCI, a planos que comparten una recta (o son coincidentes); un SI, a planos sin punto común.

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3. Método de Gauss

Se aplican operaciones elementales a la matriz ampliada hasta dejarla escalonada y se resuelve de abajo arriba.

Ejemplo. Resolver $x+y+z=6,2x-y+z=3,x+3y-z=4$. $$\left(\begin{array}{cccc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 6\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 3\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 4\hfill \end{array}\right)\underset{F_3-F_1}{\overset{F_2-2F_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 6\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill -3\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill -9\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill -2\hfill & \hfill -2\hfill \end{array}\right)\stackrel{3F_3+2F_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 6\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill -3\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill -9\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -8\hfill & \hfill -24\hfill \end{array}\right)$$ De la última fila $z=3$; luego $-3y-3=-9\Rightarrow y=2$ y $x=6-2-3=1$. Solución $(1,2,3)$.

Si aparece una fila $(000|c)$ con $c\ne 0$, el sistema es incompatible. Si hay filas nulas y menos ecuaciones que incógnitas, se pasan a parámetros las incógnitas libres.

4. Regla de Cramer

Si $A$ es cuadrada con $\left|A\right|\ne 0$, el sistema es SCD y $$x_i=\frac{\left|A_i\right|}{\left|A\right|}$$ donde $A_i$ es la matriz $A$ con su columna $i$ sustituida por $B$. También se puede usar $X=A^{-1}B$.

5. Sistemas con parámetros

Para discutir un sistema cuadrado con un parámetro $m$:

1. Se calcula $\left|A\right|$ y se buscan los valores de $m$ que lo anulan.
2. Para los demás valores, $rgA=rg{A}^{*}=n$ y el sistema es SCD.
3. Para cada valor que anula $\left|A\right|$, se sustituye y se estudian los rangos de $A$ y $A^{*}$.

6. Resolución de problemas

1. Se identifican las incógnitas y se les da nombre.
2. Se traducen las condiciones a ecuaciones.
3. Se resuelve el sistema y se comprueba que la solución tiene sentido en el contexto (por ejemplo, que no sea negativa si representa una cantidad).