Unidad 11Probabilidad y estadística

Contenidos

Sucesos aleatorios. Operaciones con sucesos.
Probabilidad simple. Regla de Laplace.
Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos.
Probabilidad compuesta. Probabilidad total. Teorema de Bayes.
Distribución binomial.

1. Sucesos aleatorios

Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no se puede predecir con certeza. El espacio muestral $E$ es el conjunto de todos los resultados posibles y un suceso es un subconjunto de $E$ .

Operación	Significado
$A \cup B$	Ocurre $A$ o $B$ (o ambos)
$A \cap B$	Ocurren $A$ y $B$ a la vez
$\bar{A}$	No ocurre $A$ (suceso contrario)
$A - B = A \cap \bar{B}$	Ocurre $A$ pero no $B$

Dos sucesos son incompatibles si $A \cap B = ⌀$ . Leyes de De Morgan: $\bar{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$ y $\bar{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}$ .

🧩 Diagrama de Venn

Abrir en GeoGebra ↗

2. Probabilidad. Regla de Laplace

La probabilidad cumple $0 \leq P (A) \leq 1$ , $P (E) = 1$ y $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ si $A, B$ son incompatibles. De ahí:

$P (\bar{A}) = 1 - P (A)$ .
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ .

Regla de Laplace. Si los resultados son equiprobables: $P (A) = \frac{casos favorables}{casos posibles}$

Para contar casos se usan las técnicas de combinatoria: variaciones $V_{n, k} = \frac{n!}{(n - k)!}$ , permutaciones $P_{n} = n!$ y combinaciones $C_{n, k} = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ .

3. Probabilidad condicionada e independencia

La probabilidad de $A$ sabiendo que ha ocurrido $B$ (con $P (B) > 0$ ) es $P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$

Dos sucesos son independientes si saber que ocurre uno no cambia la probabilidad del otro: $P (A \cap B) = P (A) P (B) \Leftrightarrow P (A | B) = P (A)$

Si $A$ y $B$ son independientes, también lo son $A$ y $\bar{B}$ , $\bar{A}$ y $B$ , y $\bar{A}$ y $\bar{B}$ . No hay que confundir independientes con incompatibles: dos sucesos incompatibles con probabilidad positiva son dependientes.

4. Probabilidad compuesta, total y Bayes

Probabilidad compuesta: $P (A \cap B) = P (A) P (B | A) = P (B) P (A | B)$ .
Probabilidad total. Si $A_{1}, \dots, A_{n}$ son incompatibles dos a dos y su unión es $E$ (sistema completo): $P (B) = \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) P (B | A_{i})$
Teorema de Bayes: $P (A_{j} | B) = \frac{P (A_{j}) P (B | A_{j})}{\sum_{i} P (A_{i}) P (B | A_{i})}$

Los diagramas de árbol organizan estos cálculos: las probabilidades de cada rama se multiplican y las de los caminos que llevan al suceso se suman.

🧩 Diagramas de árbol

Abrir en GeoGebra ↗

5. Distribución binomial

Se repite $n$ veces un experimento con dos resultados (éxito, con probabilidad $p$ , y fracaso, con $q = 1 - p$ ), de forma independiente. La variable $X$ = «número de éxitos» sigue una distribución binomial $X \sim B (n, p)$ : $P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} q^{n - k}, k = 0, 1, \dots, n$

Media: $μ = n p$ . Varianza: $σ^{2} = n p q$ . Desviación típica: $σ = \sqrt{n p q}$ .
$P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - q^{n}$ .

🧩 Distribución binomial

Abrir en GeoGebra ↗

Ejemplo. Se lanza una moneda 5 veces. Probabilidad de exactamente 2 caras: $X \sim B (5, 0, 5)$ , $P (X = 2) = (\binom{5}{2}) {(0, 5)}^{5} = \frac{10}{32} = 0, 3125$ .

✎ Problemas

Resuélvelos en tu cuaderno y pulsa «Ver solución» para autoevaluarte. Están ordenados de menor a mayor dificultad.

Se lanza un dado. Sean $A = {sale par}$ y $B = {sale un número mayor que 3}$ . Escribe $A \cup B$ , $A \cap B$ , $\bar{A}$ y $A - B$ y calcula sus probabilidades.

Ver solución

$A = {2, 4, 6}$ , $B = {4, 5, 6}$ . $A \cup B = {2, 4, 5, 6}$ , $P = \frac{2}{3}$ . $A \cap B = {4, 6}$ , $P = \frac{1}{3}$ . $\bar{A} = {1, 3, 5}$ , $P = \frac{1}{2}$ . $A - B = {2}$ , $P = \frac{1}{6}$ .

Una urna tiene 5 bolas rojas y 3 azules. Se extraen 2 bolas sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que sean las dos rojas, y de que sean de distinto color.

Ver solución

Ambas rojas: $\frac{(\binom{5}{2})}{(\binom{8}{2})} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$ . Distinto color: $\frac{5 \cdot 3}{(\binom{8}{2})} = \frac{15}{28}$ .

Se lanza un dado 4 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un 6?

Ver solución

$1 - {(\frac{5}{6})}^{4} = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{671}{1296} \approx 0, 518$ .

Si $P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 4$ y $P (A \cap B) = 0, 2$ , calcula $P (A \cup B)$ , $P (A | B)$ , $P (\bar{A} \cap \bar{B})$ y decide si $A$ y $B$ son independientes.

Ver solución

$P (A \cup B) = 0, 7$ . $P (A | B) = \frac{0, 2}{0, 4} = 0, 5$ . $P (\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0, 7 = 0, 3$ . Como $P (A) P (B) = 0, 2 = P (A \cap B)$ , son independientes.

Si $P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 3$ y $P (A \cup B) = 0, 7$ , calcula $P (A \cap B)$ , $P (A | B)$ y $P (B | A)$ . ¿Son independientes?

Ver solución

$P (A \cap B) = 0, 6 + 0, 3 - 0, 7 = 0, 2$ . $P (A | B) = \frac{2}{3}$ . $P (B | A) = \frac{1}{3}$ . $P (A) P (B) = 0, 18 \neq 0, 2$ : son dependientes.

En un grupo de 200 alumnos hay 120 chicas. 80 alumnos practican deporte, y de ellos 50 son chicas. Se elige un alumno al azar. Calcula $P (chica | deporte)$ y $P (deporte | chico)$ . ¿Son independientes «ser chica» y «hacer deporte»?

Ver solución

$P (chica | deporte) = \frac{50}{80} = \frac{5}{8}$ . Hay 80 chicos, 30 de ellos deportistas: $P (deporte | chico) = \frac{30}{80} = \frac{3}{8}$ . $P (chica) = 0, 6 \neq \frac{5}{8}$ : no son independientes.

Tres máquinas $A$ , $B$ y $C$ fabrican el 50 %, el 30 % y el 20 % de las piezas de una fábrica. Son defectuosas el 2 %, el 3 % y el 5 % de sus piezas respectivamente. Se elige una pieza al azar. Calcula la probabilidad de que sea defectuosa y, si lo es, de qué máquina es más probable que provenga.

Ver solución

$P (D) = 0, 5 \cdot 0, 02 + 0, 3 \cdot 0, 03 + 0, 2 \cdot 0, 05 = 0, 029$ . Bayes: $P (A | D) = \frac{0, 010}{0, 029} = \frac{10}{29} \approx 0, 345$ , $P (B | D) = \frac{9}{29} \approx 0, 310$ , $P (C | D) = \frac{10}{29} \approx 0, 345$ . $A$ y $C$ empatan como más probables.

Una enfermedad afecta al 1 % de la población. Una prueba da positivo en el 95 % de los enfermos y en el 4 % de los sanos. Si una persona da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que esté enferma? Comenta el resultado.

Ver solución

$P (+) = 0, 01 \cdot 0, 95 + 0, 99 \cdot 0, 04 = 0, 0491$ . $P (enferma | +) = \frac{0, 0095}{0, 0491} \approx 0, 193$ . Aunque la prueba parece fiable, solo el 19,3 % de los positivos están enfermos, porque la enfermedad es poco frecuente.

La urna $U_{1}$ tiene 3 bolas blancas y 2 negras; la $U_{2}$ , 1 blanca y 4 negras. Se lanza una moneda: si sale cara se elige $U_{1}$ y si sale cruz, $U_{2}$ . Después se extrae una bola. Calcula $P (blanca)$ y, si salió blanca, la probabilidad de que viniera de $U_{1}$ .

Ver solución

$P (B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$ . $P (U_{1} | B) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{3}{4}$ .

10.

Sean $P (A) = 0, 3$ y $P (B) = 0, 5$ . Calcula $P (A \cup B)$ si $A$ y $B$ son: a) independientes; b) incompatibles.

Ver solución

$P (A \cap B) = 0, 15$ , luego $P (A \cup B) = 0, 65$ . b) $P (A \cap B) = 0$ , luego $P (A \cup B) = 0, 8$ .

11.

Una bolsa contiene 4 bolas verdes y 6 amarillas. Se extraen 3 sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que exactamente dos sean verdes (usa un diagrama de árbol).

Ver solución

Las ordenaciones VVA, VAV y AVV tienen la misma probabilidad: $\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} \cdot \frac{6}{8} = \frac{1}{10}$ . Total: $3 \cdot \frac{1}{10} = 0, 3$ .

12.

De un grupo de 10 alumnos (6 chicas y 4 chicos) se eligen 3 al azar para formar una comisión. Calcula la probabilidad de que haya al menos un chico.

Ver solución

$1 - \frac{(\binom{6}{3})}{(\binom{10}{3})} = 1 - \frac{20}{120} = \frac{5}{6}$ .

13.

Demuestra que si $A$ y $B$ son independientes, también lo son $\bar{A}$ y $B$ .

Ver solución

$P (\bar{A} \cap B) = P (B) - P (A \cap B) = P (B) - P (A) P (B) = P (B) (1 - P (A)) = P (\bar{A}) P (B)$ .

14.

Sea $X \sim B (10; 0, 3)$ . Calcula $P (X = 3)$ , $P (X \leq 2)$ , $P (X \geq 1)$ , la media y la desviación típica.

Ver solución

$P (X = 3) = (\binom{10}{3}) 0, 3^{3} 0, 7^{7} \approx 0, 2668$ . $P (X \leq 2) \approx 0, 3828$ . $P (X \geq 1) = 1 - 0, 7^{10} \approx 0, 9718$ . $μ = 3$ , $σ = \sqrt{2, 1} \approx 1, 449$ .

15.

Un examen tipo test tiene 12 preguntas con 4 opciones cada una (solo una correcta). Un alumno contesta al azar. Calcula la probabilidad de acertar exactamente 3 preguntas y de acertar 6 o más.

Ver solución

$X \sim B (12; 0, 25)$ . $P (X = 3) = (\binom{12}{3}) 0, 25^{3} 0, 75^{9} \approx 0, 2581$ . $P (X \geq 6) \approx 0, 0544$ .

16.

¿Cuántas veces hay que lanzar un dado como mínimo para que la probabilidad de obtener al menos un 6 supere el 90 %?

Ver solución

$1 - {(\frac{5}{6})}^{n} > 0, 9 \Rightarrow {(\frac{5}{6})}^{n} < 0, 1 \Rightarrow n > \frac{ln 0, 1}{ln (5 / 6)} \approx 12, 63$ . Hacen falta $n = 13$ lanzamientos.

17.

En un lote, el 20 % de las piezas son defectuosas. Se inspeccionan 50 piezas elegidas al azar. Halla el número medio de piezas defectuosas y la desviación típica, y la probabilidad de que no haya ninguna defectuosa.

Ver solución

$X \sim B (50; 0, 2)$ : $μ = 10$ , $σ^{2} = 8$ , $σ \approx 2, 83$ . $P (X = 0) = 0, 8^{50} \approx 1, 4 e - 05$ (prácticamente imposible).