Unidad 8Continuidad, derivabilidad y L’Hôpital

La continuidad, los tipos de discontinuidad y el teorema de Bolzano se estudian en la unidad 6. Aquí se relacionan con la derivabilidad.

1. Derivabilidad

$f$ es derivable en $a$ si existe y es finita $$f\prime \left(a\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}$$ Equivale a que existan las derivadas laterales $f\prime \left(a^{-}\right)$ y $f\prime \left(a^{+}\right)$ y sean iguales.

Derivable $\Rightarrow$ continua. El recíproco es falso: $f\left(x\right)=\left|x\right|$ es continua en $0$ y no es derivable ($f\prime \left(0^{-}\right)=-1$, $f\prime \left(0^{+}\right)=1$).

Un punto donde la gráfica tiene una esquina, un pico (tangente vertical) o una discontinuidad no es derivable.

Función a trozos. Para que $f$ sea derivable en el punto de unión $a$ debe ser antes continua en $a$ y coincidir las derivadas laterales. Primero se imponen los límites laterales iguales (continuidad) y después las derivadas iguales.

2. Función derivada

La función derivada $f\prime$ asocia a cada $x$ el valor $f\prime \left(x\right)$. Su signo da la monotonía de $f$, y los puntos donde $f\prime =0$ son candidatos a extremos (unidad 7).

3. Teorema de Rolle

Si $f$ es continua en $[a,b]$, derivable en $(a,b)$ y $f\left(a\right)=f\left(b\right)$, entonces existe $c\in (a,b)$ con $f\prime \left(c\right)=0$.

Significado geométrico: hay un punto con tangente horizontal. Hay que comprobar las tres hipótesis antes de aplicarlo.

Consecuencia. Si $f\prime \left(x\right)\ne 0$ en todo un intervalo, $f$ se anula como máximo una vez allí. Combinado con Bolzano, permite probar que una ecuación tiene exactamente una raíz.

4. Teorema del valor medio (de Lagrange)

Si $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$, existe $c\in (a,b)$ tal que $$f\prime \left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$$

Significado geométrico: hay un punto donde la tangente es paralela a la cuerda que une $(a,f\left(a\right))$ y $(b,f\left(b\right))$. Físicamente, en algún instante la velocidad instantánea coincide con la velocidad media. El teorema de Rolle es el caso $f\left(a\right)=f\left(b\right)$.

5. Regla de L’Hôpital

Si ${lim}_{x\to a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ presenta una indeterminación $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty }{\infty }$ y existe ${lim}_{x\to a}\frac{f\prime \left(x\right)}{g\prime \left(x\right)}$, entonces $$\underset{x\to a}{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f\prime \left(x\right)}{g\prime \left(x\right)}$$

Vale también para $x\to \pm \infty$ y para límites laterales. Se puede aplicar varias veces. Se derivan numerador y denominador por separado (no es la derivada del cociente).

Otras indeterminaciones. Se transforman en $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty }{\infty }$:

• $0\cdot \infty$: $f\cdot g=\frac{f}{1/g}$.
• $\infty -\infty$: se reduce a común denominador.
• $1^{\infty },0^0,{\infty }^0$: se toma logaritmo, $lnL=limglnf$, y después $L=e^{lnL}$.