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NM 1.4Aplicaciones de las progresiones en el ámbito financiero

El interés simple y el interés compuesto. Aplicación de las progresiones aritméticas y geométricas a problemas financieros de ahorro, préstamo y amortización.

Interés simple

En el interés simple, los intereses generados en cada periodo son siempre los mismos, ya que se calculan sobre el capital inicial $C_{0}$ ; el capital tras $n$ periodos a un tipo de interés $i$ (en tanto por uno) forma una progresión aritmética de diferencia $C_{0} \cdot i$ :

$C_{n} = C_{0} (1 + n \cdot i)$

Interés compuesto

En el interés compuesto, los intereses generados en cada periodo se incorporan al capital y, a su vez, generan nuevos intereses; el capital tras $n$ periodos forma una progresión geométrica de razón $(1 + i)$ :

$C_{n} = C_{0} {(1 + i)}^{n}$

Figura 7. Interés simple (lineal) frente a interés compuesto (exponencial).

Actividad resuelta

Se depositan 3000 € en un producto de ahorro al 2,5 % de interés compuesto anual. Halla el capital acumulado tras 6 años.

$C_{6} = 3000 {(1 + 0, 025)}^{6} = 3000 \cdot 1, 025^{6} \approx 3479, 49 €$

🖩 Recursos tecnológicos

Calculadora CASIO fx-CG50

En MENU → FINANCIAL, F2 (CMPD, Compound Interest) calcula problemas de interés compuesto: se introducen n (número total de periodos de capitalización), I% (tipo de interés nominal anual), PV (capital inicial, con signo negativo si es una cantidad que se entrega), PMT (0 si no hay pagos periódicos), P/Y (pagos por año) y C/Y (capitalizaciones por año); se sitúa el cursor en la incógnita (FV, PV, n o I%) y se pulsa SOLVE. En Set conviene mantener End (pagos al final de cada periodo).

🧩 Interés simple

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🧩 Interés compuesto

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🧩 Comparativa: interés simple e interés compuesto

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✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Se invierten 2000 € al 3 % de interés simple anual durante 5 años. Calcula el interés obtenido y el capital final.

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Interés = 2000 · 0,03 · 5 = 300 € ; capital final = 2300 €

2. Se invierten 3000 € al 2,5 % de interés compuesto anual durante 6 años. Calcula el capital final.

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C = 3000 · 1,025⁶ ≈ 3479,08 €

3. Se depositan 5000 € al 4 % anual nominal, con capitalización trimestral, durante 3 años. ¿Cuál es el capital final?

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C = 5000 · (1 + 0,04/4)¹² = 5000 · 1,01¹² ≈ 5634,13 €

4. ¿Cuánto hay que invertir hoy al 5 % de interés compuesto anual para disponer de 10 000 € dentro de 8 años?

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C₀ = 10 000 / 1,05⁸ ≈ 6768,39 €

5. Un coche de 18 000 € se deprecia un 12 % cada año. ¿Cuánto valdrá al cabo de 4 años?

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V = 18 000 · 0,88⁴ ≈ 10 794,52 €

6. Compara el capital final de 1000 € invertidos durante 10 años al 4 % anual: con interés simple y con interés compuesto. ¿Qué diferencia hay?

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Simple: 1000 + 1000 · 0,04 · 10 = 1400 €. Compuesto: 1000 · 1,04¹⁰ ≈ 1480,24 €. Diferencia ≈ 80,24 €

7. ¿Cuántos años son necesarios para duplicar un capital al 6 % de interés compuesto anual? Usa la calculadora.

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1,06ⁿ = 2 ⇒ n = ln 2 / ln 1,06 ≈ 11,9 ⇒ 12 años

8. Un producto cuesta hoy 80 €. Si los precios suben un 3 % cada año, ¿cuánto costará dentro de 5 años?

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80 · 1,03⁵ ≈ 92,74 €