MAI NM › Bloque 5 · Inferencia estadística y funciones › Tema 11 · integrales

NM 5.8Regla del trapecio

Cálculo aproximado de áreas utilizando la regla del trapecio, con intervalos de igual anchura, a partir de una tabla de datos o de una función.

Cuando no se conoce la función (por ejemplo, la superficie de un lago a partir de mediciones) o no se puede integrar fácilmente, el área bajo una curva se puede estimar dividiendo la región en trapecios de igual anchura h. Si hay n intervalos y los valores de la función en los extremos de los intervalos son $y_{0}$ , $y_{1}$ , …, $y_{n}$ , entonces:

$Á r e a \approx \frac{h}{2} \cdot [y_{0} + y_{n} + 2 (y_{1} + y_{2} + \dots + y_{n - 1})]$

Es decir, se suman los valores de los extremos, más el doble de los valores intermedios, y se multiplica por la mitad de la anchura h. El resultado es una aproximación, cuya calidad mejora al aumentar el número de intervalos.

Actividad resuelta

a) Estima, con la regla del trapecio y 4 intervalos, el área bajo $y = x^{2}$ entre $x = 0$ y $x = 4$ . b) La profundidad de un lago (en metros), medida cada 10 m a lo largo de una línea, es: 0, 3, 5, 6, 4, 0. Estima el área de la sección transversal.

Solución: a) $h = 1$ y los valores son 0, 1, 4, 9, 16. Área $\approx \frac{1}{2} [0 + 16 + 2 (1 + 4 + 9)] = \frac{1}{2} (44) = 22$ . (El valor exacto es $\frac{64}{3} \approx 21, 33$ : la regla del trapecio da una aproximación ligeramente mayor, pues la curva es convexa.) b) $h = 10$ y hay 5 intervalos: Área $\approx \frac{10}{2} [0 + 0 + 2 (3 + 5 + 6 + 4)] = 5 \times 36 = 180 m^{2}$ .

Figura 10. Regla del trapecio con 4 intervalos para $f (x) = x^{2}$ .

Relación con NM 1.6: al ser una aproximación, conviene indicar si se trata de una cota superior o inferior del área real y valorar el error cometido. Con programas de representación gráfica dinámica se puede visualizar cómo, al aumentar el número de trapecios, la aproximación se acerca al área exacta.

🖩 Recursos tecnológicos

Calculadora CASIO fx-CG50

La regla del trapecio puede calcularse en MENU → RUN·MAT escribiendo la fórmula directamente (h ÷ 2 × (y₀ + 2(y₁ + … + yₙ₋₁) + yₙ)) o, con los datos en MENU → STAT (x en List 1, y en List 2), calculando las sumas necesarias con las órdenes de lista. Para comprobar el resultado y calcular el porcentaje de error de la aproximación, el valor exacto de la integral se obtiene con la instrucción ∫( f(x), a, b ) (OPTN → CALC → ∫dx).

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Aproxima $\int_{0}^{4} x^{2} d x$ con la regla del trapecio usando 4 subintervalos. Calcula también el valor exacto y el error.

Ver solución

h = 1 ; T = ½[0 + 2(1 + 4 + 9) + 16] = 22. Valor exacto 64/3 ≈ 21,33 ; error ≈ 0,67 (sobrestima)

2. Aproxima $\int_{1}^{3} \frac{1}{x} d x$ con 4 trapecios. Calcula el valor y compáralo con ln 3.

Ver solución

h = 0,5 ; T = 0,25[1 + 2(2/3 + 1/2 + 2/5) + 1/3] ≈ 1,1167. ln 3 ≈ 1,0986 ; error ≈ 0,018

3. La tabla da la velocidad de un coche: t (s): 0, 2, 4, 6, 8; v $\frac{m}{s}$ : 0, 6, 10, 12, 13. Estima la distancia recorrida con la regla del trapecio.

Ver solución

T = (2/2)[0 + 2(6 + 10 + 12) + 13] = 69 m

4. Un terreno limitado por un río tiene anchuras de 0, 12, 15, 11, 7 y 0 m, medidas cada 10 m. Estima el área.

Ver solución

T = (10/2)[0 + 2(12 + 15 + 11 + 7) + 0] = 450 m²

5. ¿La regla del trapecio sobrestima o subestima el área de una función convexa (como $x^{2}$ )? Razona con un dibujo.

Ver solución

Sobrestima: en una función convexa la cuerda de cada trapecio queda por encima de la curva, así que el trapecio tiene más área que la región bajo la curva