MAI NM › Bloque 3 · Funciones › Tema 5 ·Análisis de funciones

NM 2.4Características clave de las gráficas

Determinación de las características clave de las gráficas de las funciones y creación de una interpretación completa de estas gráficas. Uso de la tecnología para calcular los puntos de intersección de curvas o rectas.

Características clave de una gráfica

Al analizar la gráfica de una función conviene identificar sistemáticamente:

Los cortes con los ejes: cortes con el eje X (donde $f (x) = 0$ , llamados también ceros o raíces) y corte con el eje Y (el valor $f (0)$ ).

Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Los máximos y mínimos (relativos y absolutos).

La simetría, si la tiene.

El dominio y el recorrido.

El comportamiento de la función en los extremos (si tiende a $+ \infty$ , $- \infty$ , o a un valor concreto).

Figura 8. Elementos de una gráfica: cortes con los ejes y máximos y mínimos locales.

Puntos de intersección de dos gráficas

El punto (o los puntos) de intersección de las gráficas de $f$ y $g$ se halla resolviendo la ecuación $f (x) = g (x)$ ; con calculadora gráfica o software, este punto se obtiene visualmente hallando la intersección de ambas curvas.

Actividad resuelta

Halla el punto de intersección de las gráficas de $𝐟 (𝐱) = 𝐱^{𝟐} - 𝟏$ y $𝐠 (𝐱) = 𝐱 + 𝟏$ , y describe brevemente la gráfica de f (cortes, mínimo y simetría).

$f (x) = g (x) \to x^{2} - 1 = x + 1 \to x^{2} - x - 2 = 0 \to x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = {\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix}$

Los puntos de intersección son $(2, 3)$ y $(- 1, 0)$ . La gráfica de $f$ corta al eje X en $x = \pm 1$ , corta al eje Y en $y = - 1$ , tiene un mínimo en $(0, - 1)$ y es simétrica respecto al eje Y (función par).

Figura 9. Puntos de intersección de las gráficas de f y g.

🖩 Recursos tecnológicos

Calculadora CASIO fx-CG50

En MENU → GRAPH, tras dibujar la función (DRAW), SHIFT + F5 (G-Solv) da acceso directo a ROOT (ceros), MAX y MIN (extremos relativos), Y-ICPT (corte con el eje Y) e ISCT (intersección con otra gráfica ya dibujada), es decir, a todas las características clave de la gráfica sin necesidad de calcularlas a mano.

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. De la gráfica de una parábola con vértice en $(1, - 4)$ que corta al eje x en $- 1$ y 3, indica (dibújala antes):

a) cortes con los ejes

b) vértice y eje de simetría

c) intervalos de crecimiento y decrecimiento

d) dominio y recorrido

Ver solución

a) Cortes con x: (−1, 0) y (3, 0) ; con y: (0, −3)

b) Vértice (1, −4) ; eje x = 1

c) Decrece en (−∞, 1) y crece en (1, ∞)

d) Dominio ℝ ; recorrido [−4, ∞)

2. Sea $f (x) = x^{2} - 4 x - 5$ . Halla los cortes con el eje x resolviendo $f (x) = 0$ , el corte con el eje y, la ecuación del eje de simetría $x = - \frac{b}{2 a}$ y el vértice.

Ver solución

f(x) = (x − 5)(x + 1) ⇒ cortes con x en x = 5 y x = −1 ; corte con y: (0, −5) ; eje x = 2 ; vértice (2, −9)

3. Halla las ecuaciones de las asíntotas de $f (x) = \frac{3}{x - 2} + 1$ .

Ver solución

Asíntota vertical x = 2 ; asíntota horizontal y = 1

4. Describe los intervalos de crecimiento y decrecimiento y el máximo o mínimo de $f (x) = - x^{2} + 6 x - 5$ .

Ver solución

Vértice (3, 4). Crece en (−∞, 3), decrece en (3, ∞) ; máximo f(3) = 4

5. Indica si es par, impar o ninguna: $x^{2}$ , $x^{3}$ , $x^{2} + x$ . Razona con $f (- x)$ .

Ver solución

x²: par (f(−x) = f(x)) ; x³: impar (f(−x) = −f(x)) ; x² + x: ninguna (f(−x) = x² − x)

6. Explica con tus palabras qué significan «ceros de una función», «ordenada en el origen» y «extremo relativo» y da un ejemplo gráfico de cada uno.

Ver solución

Ceros: valores de x con f(x) = 0 (cortes con el eje x). Ordenada en el origen: f(0), corte con el eje y. Extremo relativo: máximo o mínimo local, donde la función cambia de crecer a decrecer o al revés. Ej.: en y = x² − 4, ceros ±2, ordenada −4 y mínimo relativo en (0, −4)