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NM 2.1Rectas: Ecuaciones, pendiente y posiciones relativas

Distintas formas de la ecuación de una recta. Pendiente; intersecciones con los ejes. Rectas paralelas y perpendiculares. Puntos de intersección de gráficas.

Formas de la ecuación de una recta

Una recta en el plano puede expresarse de varias formas equivalentes:

$𝐅 𝐨 𝐫 𝐦 𝐚 𝐠 𝐞 𝐧 𝐞 𝐫 𝐚 𝐥 : a x + b y + c = 0 𝐅 𝐨 𝐫 𝐦 𝐚 𝐞 𝐱 𝐩 𝐥 í 𝐜 𝐢 𝐭 𝐚 (𝐨 𝐩 𝐞 𝐧 𝐝 𝐢 𝐞 𝐧 𝐭 𝐞 - 𝐨 𝐫 𝐝 𝐞 𝐧 𝐚 𝐝 𝐚) : y = m x + n$

$𝐅 𝐨 𝐫 𝐦 𝐚 𝐩 𝐮 𝐧 𝐭 𝐨 - 𝐩 𝐞 𝐧 𝐝 𝐢 𝐞 𝐧 𝐭 𝐞 : y - y_{1} = m (x - x_{1})$

donde $m$ es la pendiente de la recta (la razón entre la variación vertical y la variación horizontal) y $n$ es la ordenada en el origen (el valor de $y$ donde la recta corta al eje Y). Dados dos puntos $(x_{1}, y_{1})$ y $(x_{2}, y_{2})$ de la recta, la pendiente se calcula como:

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Figura 1. Pendiente de una recta: cociente entre Δy y Δx.

Intersecciones con los ejes

La intersección con el eje Y se obtiene haciendo $x = 0$ ; la intersección con el eje X (si existe) se obtiene haciendo $y = 0$ y despejando $x$ .

Rectas paralelas y perpendiculares

Dos rectas de pendientes $m_{1}$ y $m_{2}$ son:

$𝐏 𝐚 𝐫 𝐚 𝐥 𝐞 𝐥 𝐚 𝐬 \Leftrightarrow m_{1} = m_{2} 𝐏 𝐞 𝐫 𝐩 𝐞 𝐧 𝐝 𝐢 𝐜 𝐮 𝐥 𝐚 𝐫 𝐞 𝐬 \Leftrightarrow m_{1} \cdot m_{2} = - 1$

Actividad resuelta

1. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos $𝐀 (𝟏, 𝟐)$ y $𝐁 (𝟒, - 𝟒)$ , y determina sus intersecciones con los ejes.

$m = \frac{- 4 - 2}{4 - 1} = \frac{- 6}{3} = - 2$

$y - 2 = - 2 (x - 1) \to y = - 2 x + 4$

Corte con el eje Y ( $x = 0$ ): $y = 4$ , punto $(0, 4)$ . Corte con el eje X ( $y = 0$ ): $0 = - 2 x + 4 \to x = 2$ , punto $(2, 0)$ .

Figura 2. Recta que pasa por A y B, con sus puntos de corte con los ejes.

2. Halla la ecuación de la recta perpendicular a $𝐲 = 𝟑 𝐱 - 𝟏$ que pasa por el punto (2,5), y estudia si la recta $𝐲 = - \frac{𝟏}{𝟑} 𝐱 + 𝟕$ es paralela a ella.

Como la pendiente de la recta dada es $m_{1} = 3$ , la pendiente de la recta perpendicular cumple $3 \cdot m_{2} = - 1 \to m_{2} = - \frac{1}{3}$ .

$y - 5 = - \frac{1}{3} (x - 2) \to y = - \frac{1}{3} x + \frac{17}{3}$

Como $y = - \frac{1}{3} x + 7$ tiene la misma pendiente ( $m = - \frac{1}{3}$ ) pero distinta ordenada en el origen, es paralela a la recta hallada (no coincidente).

Figura 3. Recta dada, su perpendicular y una paralela a ésta.

🖩 Recursos tecnológicos

Calculadora CASIO fx-CG50

En MENU → GRAPH se introducen las rectas en Y1, Y2… y, tras DRAW, SHIFT+F5 (G-Solv) → ISCT da el punto de intersección de dos de ellas. Con F2 (Zoom) → SQR la escala de ambos ejes es la misma, de modo que las rectas perpendiculares se ven realmente perpendiculares. El punto de corte de dos rectas también puede obtenerse en MENU → EQUA → F1 (SIMLT) con 2 incógnitas.

🧩 Ecuaciones de la recta

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🧩 Posición relativa de dos rectas

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✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Halla la pendiente de la recta que pasa por:

a) $A (1, 2)$ y $B (4, 8)$

b) $P (- 3, 5)$ y $Q (2, 0)$

c) $R (0, 4)$ y $S (6, 4)$

Ver solución

a) m = 6/3 = 2

b) m = (0 − 5)/(2 + 3) = −1

c) m = 0

2. Halla la ecuación de la recta en la forma $y = m x + n$ :

a) pendiente 3 y pasa por $(0, - 2)$

b) pendiente $- \frac{1}{2}$ y pasa por $(4, 1)$

c) pasa por $(1, 2)$ y $(3, 8)$

Ver solución

a) y = 3x − 2

b) y − 1 = −½(x − 4) ⇒ y = −x/2 + 3

c) m = 3 ; y = 3x − 1

3. Pasa la ecuación $y = 2 x - 5$ a la forma general $a x + b y + d = 0$ , y $3 x + 4 y - 12 = 0$ a la forma $y = m x + n$ . Indica la pendiente y la ordenada en el origen de cada una.

Ver solución

2x − y − 5 = 0 (m = 2, n = −5) ; y = −3x/4 + 3 (m = −3/4, n = 3)

4. Halla los puntos de corte con los ejes de la recta $2 x + 3 y = 12$ y represéntala.

Ver solución

Con y = 0: x = 6 ⇒ (6, 0). Con x = 0: y = 4 ⇒ (0, 4)

5. Indica si las rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos:

a) $y = 3 x + 1$ e $y = 3 x - 4$

b) $y = 2 x + 5$ e $y = - \frac{x}{2} + 1$

c) $y = x + 2$ e $y = 2 x + 2$

Ver solución

a) Paralelas (misma pendiente 3)

b) Perpendiculares (2 · (−1/2) = −1)

c) Ninguna de las dos

6. Halla la ecuación de la recta paralela a $y = - 2 x + 3$ que pasa por $(1, 5)$ y la de la perpendicular a ella que pasa por el mismo punto.

Ver solución

Paralela: m = −2 ⇒ y = −2x + 7. Perpendicular: m = 1/2 ⇒ y = x/2 + 9/2

7. Halla el punto de corte de las rectas $y = 2 x - 1$ e $y = - x + 5$ algebraicamente y comprueba el resultado con la calculadora.

Ver solución

2x − 1 = −x + 5 ⇒ x = 2, y = 3 ⇒ (2, 3)

8. Un taxi cobra una tarifa fija de 3 € más 1,20 € por kilómetro. Escribe la ecuación del coste C en función de los km, interpreta la pendiente y la ordenada en el origen y calcula el coste de 15 km.

Ver solución

C = 3 + 1,2 x. La pendiente 1,2 son los €/km; la ordenada 3 es la tarifa fija (bajada de bandera). C(15) = 21 €