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NM 1.8Sistemas de ecuaciones y ecuaciones polinómicas con medios tecnológicos

Uso de medios tecnológicos (calculadora de pantalla gráfica u hoja de cálculo) para resolver sistemas de ecuaciones lineales con hasta tres incógnitas y ecuaciones polinómicas.

Sistemas de ecuaciones lineales con hasta tres incógnitas

Un sistema de ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas puede resolverse directamente con la calculadora de pantalla gráfica (mediante su editor de matrices o su aplicación específica de resolución de sistemas) o con una hoja de cálculo. En los exámenes no se exige ningún método de resolución concreto (sustitución, igualación, reducción o matricial): basta con introducir correctamente los coeficientes del sistema y obtener la solución, que en todos los casos que se planteen será única.

Figura 3. Solución gráfica de un sistema $2 \times 2$ : el punto de corte de las dos rectas.

Ecuaciones polinómicas

La calculadora de pantalla gráfica también permite hallar directamente las soluciones (también llamadas ceros o raíces) de una ecuación polinómica, bien representando la función gráficamente y localizando sus puntos de corte con el eje X, bien utilizando el solver o la aplicación de polinomios de la propia calculadora.

Actividad resuelta

Resuelve con la calculadora de pantalla gráfica el sistema:

$2 x + y - z = 3; x - y + 2 z = 4; 3 x + 2 y + z = 10$

Solución: introduciendo la matriz de coeficientes $3 \times 3$ y el vector de términos independientes en el editor de matrices, y calculando la matriz inversa (o resolviendo el sistema directamente con la aplicación de ecuaciones de la calculadora), se obtiene la solución única $x = 1$ , $y = 2$ , $z = 2$ .

Actividad resuelta

Halla, con la calculadora, los ceros de la función $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ .

Solución: representando $y = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ y hallando sus puntos de corte con el eje X (o resolviendo $x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = 0$ con el solver), se obtienen las tres raíces $x = 1$ , $x = - 2$ y $x = 3$ .

Figura 4. Los ceros de la función son los puntos de corte con el eje X.

🖩 Recursos tecnológicos

Calculadora CASIO fx-CG50

En MENU → EQUA, F1 (SIMLT) resuelve sistemas de ecuaciones lineales de 2 a 6 incógnitas: se indica el número de incógnitas, se introducen los coeficientes y el término independiente de cada ecuación y se pulsa SOLVE. F2 (POLY) resuelve ecuaciones polinómicas: se indica el grado, se introducen los coeficientes (incluidos los nulos) y SOLVE muestra todas las raíces. Cualquier ecuación o sistema no lineal también puede resolverse en MENU → GRAPH, dibujando ambas expresiones y utilizando SHIFT+F5 (G-Solv) → ISCT.

🧩 Discusión de sistemas lineales

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✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Resuelve cada sistema (a mano y comprueba con la calculadora):

a) $x + y = 7$ ; $x - y = 1$

b) $2 x + 3 y = 12$ ; $x - y = 1$

c) $2 x + y = 11$ ; $3 x - 2 y = 6$

Ver solución

a) x = 4, y = 3

b) x = 3, y = 2

c) x = 4, y = 3

2. Resuelve con la calculadora el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: $x + y + z = 6$ ; $2 x - y + z = 3$ ; $x + 2 y - z = 2$ .

Ver solución

x = 1, y = 2, z = 3

3. Resuelve con la calculadora: $2 x + y + z = 8$ ; $x + 3 y - z = 2$ ; $x - y + 2 z = 7$ .

Ver solución

x = 2, y = 1, z = 3

4. Resuelve las ecuaciones polinómicas (con calculadora si lo necesitas):

a) $x^{2} - 5 x + 6 = 0$

b) $x^{3} - x^{2} - 6 x = 0$

c) $x^{3} - 7 x + 6 = 0$

d) $2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$

Ver solución

a) x = 2 o x = 3

b) x(x − 3)(x + 2) = 0 ⇒ x = 0, 3, −2

c) (x − 1)(x + 2)(x − 3) = 0 ⇒ x = 1, −2, 3

d) (2x + 1)(x − 2) = 0 ⇒ x = −1/2 o x = 2

5. Una entrada de cine para 3 adultos y 2 niños cuesta 26 €, y para 2 adultos y 4 niños, 28 €. Plantea un sistema y calcula el precio de la entrada de adulto y de la de niño.

Ver solución

Adulto a, niño n: 3a + 2n = 26 ; 2a + 4n = 28. Solución: a = 6 €, n = 4 €

6. La suma de dos números es 15 y su producto es 56. Plantea una ecuación y halla los dos números.

Ver solución

x + y = 15 ; xy = 56 ⇒ x² − 15x + 56 = 0 ⇒ x = 7 o x = 8. Los números son 7 y 8