MAI NM › Bloque 3 · Funciones › Tema 6 ·Interpolación y modelización

NM 2.6Habilidades de modelización

Proceso de modelización: elección y ajuste de un modelo teórico de la sección NM 2.5; determinación de un dominio razonable; cálculo de los parámetros del modelo; valoración de lo apropiado del modelo; uso del modelo para leer datos, interpretar y hacer predicciones.

Elegir y ajustar un modelo

Ante una situación real, el primer paso consiste en reconocer qué tipo de modelo de los vistos en NM 2.5 (lineal, cuadrático, exponencial, de variación, cúbico o sinusoidal) resulta más adecuado, fijándose en la forma de los datos (¿crecen linealmente?, ¿se repiten periódicamente?, ¿tienden a un valor límite?) o en el contexto del problema. A continuación, se determina un dominio razonable para el modelo: por ejemplo, el tiempo t no puede ser negativo, y un modelo de crecimiento de población puede dejar de ser realista a partir de cierto momento.

Calcular los parámetros del modelo

Para hallar los parámetros de un modelo (por ejemplo, m y c en un modelo lineal, o k y a en un modelo exponencial) se sustituyen en la fórmula general los datos conocidos (condiciones iniciales, u otros puntos dados) y se resuelve el sistema de ecuaciones resultante, con hasta tres incógnitas, utilizando medios tecnológicos. En NM no se exige realizar regresiones no lineales con la calculadora; sí se exige poder plantear y resolver el sistema de ecuaciones correspondiente.

Actividad resuelta

Un modelo cuadrático $f (x) = {a x}^{2} + b x + c$ pasa por los puntos $(0, 5)$ , $(1, 6)$ y $(2, 3)$ . Halla a, b y c.

Solución: sustituyendo cada punto se obtiene el sistema $c = 5$ ; $a + b + c = 6$ ; $4 a + 2 b + c = 3$ . De la primera ecuación, $c = 5$ ; sustituyendo en las otras dos: $a + b = 1$ y $4 a + 2 b = - 2$ , es decir, $2 a + b = - 1$ . Restando, $a = - 2$ , y por tanto $b = 3$ . El modelo es $f (x) = - 2 x^{2} + 3 x + 5$ .

Figura 15. Parábola ajustada a tres puntos dados.

Valorar y poner a prueba el modelo

Un modelo nunca es una descripción perfecta de la realidad: conviene comentar si resulta razonable (por ejemplo, ¿da valores negativos cuando la magnitud real no puede serlo?) y justificar la elección del modelo basándose en la forma de los datos, en las propiedades típicas de la curva elegida, o en el contexto de la situación.

Usar el modelo: lectura, interpretación y predicción

Una vez validado, el modelo permite leer datos no dados explícitamente, interpretarlos en el contexto del problema, y hacer predicciones sustituyendo nuevos valores de x. Conviene tener presentes los peligros de la extrapolación: un modelo ajustado a partir de datos dentro de un determinado intervalo puede dejar de ser válido fuera de dicho intervalo (por ejemplo, un modelo exponencial de crecimiento de una población no puede ser válido indefinidamente, ya que ningún recurso es ilimitado).

Actividad resuelta

El número de usuarios (en miles) de una aplicación móvil, medido mensualmente desde su lanzamiento, se ajusta razonablemente bien a un modelo exponencial $N (t) = 5 \times {1, 4}^{t}$ , donde t es el número de meses desde el lanzamiento. a) Estima el número de usuarios a los 8 meses. b) Comenta si tiene sentido usar este modelo para predecir el número de usuarios a los 10 años.

Solución: a) $N (8) = 5 \times {1, 4}^{8} \approx 5 \times 14, 76 \approx 73, 8$ , es decir, unos 73 800 usuarios. b) No resulta razonable: a los 10 años $(t = 120)$ el modelo exponencial predeciría un número de usuarios absurdamente alto, sin límite; en la práctica, el crecimiento se ralentiza a medida que el mercado potencial se agota, por lo que el modelo exponencial solo es fiable a corto plazo, cerca de los datos con los que se ajustó.

Figura 16. Interpolación y extrapolación (los datos son ilustrativos): el modelo es menos fiable fuera del rango.

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Asocia cada situación con el tipo de función más adecuado (lineal, cuadrática, exponencial, sinusoidal) y justifica:

a) Altura de un balón lanzado al aire

b) Alquiler de coche con tarifa fija y precio por día

c) Valor de una inversión con interés compuesto

d) Número de horas de luz a lo largo del año

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a) Cuadrática (parábola)

b) Lineal

c) Exponencial

d) Sinusoidal (periódica)

2. A partir de la tabla $(0, 2)$ , $(1, 6)$ , $(2, 18)$ , $(3, 54)$ decide si el modelo es lineal o exponencial, halla la fórmula y predice el valor en $x = 5$ .

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Cociente constante 3 ⇒ exponencial: y = 2 · 3ˣ ; para x = 5: y = 486

3. Los datos $(0, 1)$ , $(1, 3)$ , $(2, 3)$ , $(3, 1)$ ¿se ajustan a una función lineal o a una cuadrática? Halla el modelo con la calculadora y comenta su dominio razonable.

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Es cuadrática (simétrica respecto de x = 1,5): y = −x² + 3x + 1. Dominio razonable: el intervalo donde el modelo tiene sentido en el contexto (aquí, x ∈ [0, 3] aprox.)

4. Un modelo da el beneficio $B (x) = - 2 x^{2} + 40 x - 120$ (x en cientos de unidades). Halla cuántas unidades dan el beneficio máximo, cuánto es ese beneficio y entre qué valores hay beneficios positivos.

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Vértice x = 10 (cientos) ⇒ 1000 unidades ; B(10) = 80. Beneficio positivo si −2x² + 40x − 120 > 0 ⇒ 10 − √40 < x < 10 + √40, es decir, entre 3,68 y 16,32 cientos (de 368 a 1632 unidades aprox.)

5. Interpreta en el contexto: en el modelo $N (t) = 500$ · ${1, 05}^{t}$ , ¿qué significan 500, 1,05 y $N (10)$ ?

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500: valor inicial (t = 0) ; 1,05: factor de crecimiento (aumento del 5 % por periodo) ; N(10) = 500 · 1,05¹⁰ ≈ 814: valor tras 10 periodos

6. Describe dos limitaciones del modelo lineal $C = 3 + 1, 2 x$ para el coste de un taxi y razona cuándo dejaría de ser adecuado.

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Por ejemplo: no recoge esperas o tarifas mínimas, ni recargos por tramos u horarios; y solo vale para x ≥ 0. Dejaría de ser adecuado si la tarifa cambia por tramos o con tráfico denso