MAI NM › Bloque 4 · Estadística y probabilidad › Tema 7 ·Estadística básica

NM 4.2Presentación de datos: Tablas, histogramas y diagramas de caja

Presentación de datos discretos y continuos: tablas de frecuencias e histogramas (con clases de igual amplitud). Frecuencia acumulada y su gráfico; cálculo de la mediana, los cuartiles, los percentiles, el rango y el rango intercuartílico. Diagramas de caja y bigotes.

Tablas de frecuencias

Una tabla de frecuencias organiza los datos de una variable, mostrando para cada valor (o intervalo de valores) su frecuencia absoluta ( $f_{i}$ , número de veces que aparece), su frecuencia relativa ( $\frac{f_{i}}{N}$ ) y, con frecuencia, las frecuencias acumuladas.

Tabla 1. Número de hermanos de 30 alumnos (frecuencias absoluta, relativa y acumulada).

Valor xᵢ	Frecuencia absoluta fᵢ	Frecuencia relativa $\frac{f_{i}}{N}$	Frecuencia acumulada F
0	5	0,167	5
1	11	0,367	16
2	8	0,267	24
3	4	0,133	28
4	2	0,067	30
Total	30	1

Representación gráfica

Los datos discretos suelen representarse mediante un diagrama de barras, donde la altura de cada barra es proporcional a la frecuencia de cada valor. Los datos continuos, agrupados en intervalos (clases), se representan mediante un histograma, formado por rectángulos contiguos cuya base es la amplitud de cada clase.

En los exámenes, los intervalos de clase se dan en forma de desigualdades, sin huecos entre ellos (por ejemplo, $10 \leq t < 20$ ), y los histogramas tienen clases de la misma amplitud, de modo que la altura de cada rectángulo es proporcional a la frecuencia.

Frecuencia acumulada y su gráfico

La frecuencia acumulada F de un valor (o del extremo superior de una clase) es el número de datos menores o iguales que él. El gráfico de frecuencia acumulada representa, para cada extremo superior de clase, su frecuencia acumulada, y se unen los puntos con segmentos. Con él se estiman: la mediana (el dato que ocupa el 50 % de la frecuencia total), el primer y el tercer cuartil (25 % y 75 %), cualquier percentil k (el dato que deja por debajo el k % de los datos), el rango (máximo − mínimo) y el rango intercuartílico $R I C = Q_{3} - Q_{1}$ .

Actividad resuelta

Los tiempos de espera (en minutos) de 40 clientes se recogen en la tabla siguiente. Completa la frecuencia acumulada y estima la mediana, los cuartiles, el percentil 90 y el RIC.

Tabla 2. Tiempos de espera de 40 clientes.

Tiempo t (min)	Frecuencia fᵢ	Frecuencia acumulada F
$0 \leq t < 10$	4	4
$10 \leq t < 20$	10	14
$20 \leq t < 30$	14	28
$30 \leq t < 40$	8	36
$40 \leq t < 50$	4	40

Solución de la actividad: $n = 40$ . La mediana ocupa la posición 20, que está en la clase 20–30: $M e \approx 20 + \frac{20 - 14}{28 - 14} \times 10 \approx 24, 3$ min. Q1 (posición 10, clase 10–20): $Q_{1} \approx 10 + \frac{10 - 4}{14 - 4} \times 10 = 16$ min. Q3 (posición 30, clase 30–40): $Q_{3} \approx 30 + \frac{30 - 28}{36 - 28} \times 10 = 32, 5$ min. El percentil 90 (posición 36) es 40 min. $R I C = 32, 5 - 16 = 16, 5$ min.

Figura 2. Histograma y frecuencias acumuladas: lectura de $Q_{1}$ , mediana y $Q_{3}$ .

Diagramas de caja y bigotes

Un diagrama de caja y bigotes resume una distribución mediante cinco valores: mínimo, Q1, mediana, Q3 y máximo. La caja va de Q1 a Q3 con una línea en la mediana, y los bigotes se extienden hasta el menor y el mayor valor que no sean atípicos; los valores atípicos se marcan con una cruz (X).

Los diagramas de caja permiten comparar dos distribuciones, observando su mediana, su rango o su rango intercuartílico, y la simetría. Si la mediana está centrada en la caja y los bigotes tienen longitudes parecidas, la distribución es aproximadamente simétrica, lo que es compatible con que los datos sigan una distribución normal; si no, hay asimetría.

Figura 3. Comparación de dos distribuciones con diagramas de caja paralelos (datos ilustrativos).

🖩 Recursos tecnológicos

🧩 Estadística unidimensional

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Calculadora CASIO fx-CG50

En MENU → STAT se introduce la tabla de datos (valores x en List 1, frecuencias en List 2) y, con F1 (GRPH) → GPH1 configurado como histograma (Hist), se dibuja directamente el histograma a partir de la anchura de clase (Width) y el valor inicial (Start) indicados.

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Las notas de 20 alumnos son: 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 5, 6, 7, 8. Construye la tabla de frecuencias (absoluta, relativa y acumulada).

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Nota (f, fr, F): 4 (1; 0,05; 1) ; 5 (3; 0,15; 4) ; 6 (4; 0,20; 8) ; 7 (5; 0,25; 13) ; 8 (4; 0,20; 17) ; 9 (2; 0,10; 19) ; 10 (1; 0,05; 20)

2. Con los datos anteriores dibuja el diagrama de barras y escribe la moda.

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Barras de altura igual a las frecuencias absolutas (1, 3, 4, 5, 4, 2, 1). Moda = 7

3. Agrupa en intervalos de amplitud 10 los tiempos (min): 12, 25, 31, 18, 44, 37, 29, 51, 22, 35, 40, 15, 28, 33, 47. Construye la tabla y el histograma.

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[10, 20): 3 ; [20, 30): 4 ; [30, 40): 4 ; [40, 50): 3 ; [50, 60): 1. El histograma tiene barras contiguas con esas alturas

4. Dado el resumen de cinco números: mín $= 4$ , $Q_{1} = 10$ , $M e = 14$ , $Q_{3} = 20$ , máx $= 30$ , dibuja el diagrama de caja. Calcula el rango intercuartílico.

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Caja desde Q₁ = 10 hasta Q₃ = 20 con la línea de la mediana en 14 y bigotes hasta 4 y 30. RIQ = 20 − 10 = 10

5. Para los datos 3, 5, 7, 8, 9, 12, 13, 15, 40 halla los cuartiles, el RIQ y decide si 40 es un valor atípico (criterio: $Q_{3} + 1, 5 \cdot R I Q$ ).

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Mediana = 9 ; Q₁ = (5 + 7)/2 = 6 ; Q₃ = (13 + 15)/2 = 14 ; RIQ = 8. Límite = 14 + 1,5 · 8 = 26. Como 40 > 26, 40 es un valor atípico

6. Interpreta el diagrama de caja: «el 25 % de los alumnos obtuvo menos de 10 puntos». ¿Qué cuartil lo indica? Redacta otras dos conclusiones del resumen de cinco números del ejercicio 4.

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Lo indica el primer cuartil Q₁ = 10. Otras conclusiones: el 50 % de los alumnos obtuvo menos de 14 puntos (mediana) ; el 50 % central de las puntuaciones está entre 10 y 20 ; el 75 % obtuvo 20 puntos o menos