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NM 5.2Monotonía: Funciones crecientes y decrecientes

Funciones crecientes y decrecientes. Interpretación gráfica de $f' (x) > 0$ , $f' (x) = 0$ y $f' (x) < 0$ .

El signo de la derivada

El signo de $f' (x)$ en un intervalo indica si la función es creciente o decreciente en dicho intervalo:

$f' (x) > 0 e n u n i n t e r v a l o \Rightarrow f e s 𝐜 𝐫 𝐞 𝐜 𝐢 𝐞 𝐧 𝐭 𝐞 e n e s e i n t e r v a l o$

$f' (x) < 0 e n u n i n t e r v a l o \Rightarrow f e s 𝐝 𝐞 𝐜 𝐫 𝐞 𝐜 𝐢 𝐞 𝐧 𝐭 𝐞 e n e s e i n t e r v a l o$

Actividad resuelta

Halla los intervalos en los que $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ es creciente y decreciente.

Solución: $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ . $f' (x) = 0$ en $x = 0$ y $x = 2$ . Estudiando el signo: $f' (x) > 0$ si $x < 0$ o $x > 2$ , y $f' (x) < 0$ si $0 < x < 2$ . Por tanto, f es creciente en $(- \infty, 0)$ y en $(2, \infty)$ , y decreciente en $(0, 2)$ .

Figura 5. El signo de $f'$ determina dónde crece y decrece f.

🖩 Recursos tecnológicos

Calculadora CASIO fx-CG50

En MENU → GRAPH, tras representar la función, SHIFT+F5 (G-Solv) → MAX o MIN localiza directamente las coordenadas de los máximos y mínimos relativos visibles en la ventana gráfica, lo que permite contrastar el resultado obtenido al estudiar el signo de f'(x). Con F2 (Zoom) se ajusta la ventana para que se vea el comportamiento de la función en los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

🧩 Monotonía y extremos

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✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. A partir de la gráfica de una función dibujada por ti (con un máximo y un mínimo), señala los intervalos de crecimiento y decrecimiento y el signo de la derivada en cada uno.

Ver solución

La función crece donde f′ > 0 (pendiente positiva) y decrece donde f′ < 0; en el máximo y en el mínimo f′ = 0 y cambia de signo (de positiva a negativa en el máximo y de negativa a positiva en el mínimo)

2. Estudia la monotonía de $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ mediante el signo de $f' (x)$ .

Ver solución

f′(x) = 2x − 6 ⇒ negativa si x < 3 y positiva si x > 3. Decrece en (−∞, 3) y crece en (3, ∞)

3. Estudia la monotonía de $f (x) = x^{3} - 3 x$ .

Ver solución

f′(x) = 3(x − 1)(x + 1). Crece en (−∞, −1) y en (1, ∞) ; decrece en (−1, 1)

4. Estudia la monotonía de $f (x) = - 2 x^{2} + 8 x - 3$ .

Ver solución

f′(x) = −4x + 8 ⇒ positiva si x < 2. Crece en (−∞, 2) y decrece en (2, ∞)

5. Determina si $f (x) = x^{3} + x$ es creciente en todo ℝ. Razona con la derivada.

Ver solución

f′(x) = 3x² + 1 > 0 para todo x ⇒ f es estrictamente creciente en ℝ

6. Dada la tabla de signos de $f'$ : $(- \infty, - 2)$ : +; $(- 2, 1)$ : −; $(1, \infty)$ : +, describe cómo es f y dibuja un croquis.

Ver solución

f crece hasta x = −2 (máximo relativo), decrece entre −2 y 1 (mínimo relativo en x = 1) y vuelve a crecer a partir de x = 1. El croquis tiene forma de «N»