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NM 5.4Recta tangente y recta normal

Ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de una función en un punto dado.

Recta tangente y recta normal

La recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(a, f (a))$ tiene pendiente $m = f' (a)$ , por lo que su ecuación es:

$y - f (a) = f' (a) \cdot (x - a)$

La recta normal en ese mismo punto es perpendicular a la tangente, por lo que su pendiente es $- \frac{1}{f' (a)}$ (siempre que $f' (a) \neq 0$ ):

$y - f (a) = - \frac{1}{f' (a)} \cdot (x - a)$

Actividad resuelta

Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $𝐟 (𝐱) = 𝐱^{𝟐} - 𝟐 𝐱 + 𝟑$ en el punto de abscisa $𝐱 = 𝟑$ .

$f (3) = 9 - 6 + 3 = 6 f' (x) = 2 x - 2 \to f' (3) = 4$

$T a n g e n t e : y - 6 = 4 (x - 3) \to y = 4 x - 6$

$N o r m a l : y - 6 = - \frac{1}{4} (x - 3) \to y = - \frac{1}{4} x + \frac{27}{4}$

Figura 4. Recta tangente y recta normal a la gráfica en $x = 3$ .

🖩 Recursos tecnológicos

🧩 Recta tangente y recta normal a una función

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Calculadora CASIO fx-CG50

En MENU → GRAPH, tras representar la función, SHIFT+F4 (Sketch) → Tangent y seleccionar el punto de la curva dibuja automáticamente la recta tangente en ese punto, junto con su pendiente, lo que permite comprobar visualmente la ecuación calculada.

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Halla la ecuación de la tangente a $f (x) = x^{2}$ en el punto de abscisa $x = 3$ .

Ver solución

f(3) = 9 ; f′(3) = 6 ⇒ y − 9 = 6(x − 3) ⇒ y = 6x − 9

2. Halla la tangente y la normal a $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ en $x = 1$ .

Ver solución

f(1) = −2 ; f′(1) = −2. Tangente: y + 2 = −2(x − 1) ⇒ y = −2x. Normal: y + 2 = ½(x − 1) ⇒ y = x/2 − 5/2

3. Halla la tangente y la normal a $f (x) = x^{3} - 2 x$ en el punto $(2, 4)$ .

Ver solución

f′(2) = 10. Tangente: y − 4 = 10(x − 2) ⇒ y = 10x − 16. Normal: y − 4 = −(1/10)(x − 2) ⇒ y = −x/10 + 21/5

4. ¿En qué punto la tangente a $f (x) = x^{2} - 2 x + 3$ es paralela a la recta $y = 4 x - 1$ ?

Ver solución

2x − 2 = 4 ⇒ x = 3 ; f(3) = 6 ⇒ punto (3, 6)

5. ¿En qué punto de $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ la tangente es horizontal? Escribe su ecuación.

Ver solución

2x − 6 = 0 ⇒ x = 3 ; f(3) = −4 ⇒ punto (3, −4) y tangente y = −4

6. Con la calculadora (o GeoGebra) dibuja $f (x) = x^{3} - 3 x$ y su tangente en $x = 2$ . Comprueba el resultado de la tangente calculada a mano.

Ver solución

f(2) = 2 ; f′(2) = 9 ⇒ y − 2 = 9(x − 2) ⇒ y = 9x − 16. La calculadora (o GeoGebra) debe mostrar la misma recta