MAI NM › Bloque 4 · Estadística y probabilidad › Tema 9 ·Distribuciones de probabilidad (I)

NM 4.9La distribución normal

La distribución normal y sus propiedades. Características de la curva normal. Cálculos de probabilidades con la distribución normal, y cálculo inverso a partir de una probabilidad conocida.

La curva normal

La distribución normal es una distribución de probabilidad continua, con función de densidad en forma de “campana” (la campana de Gauss), simétrica respecto a la media $μ$ . Se escribe $X \sim N (μ, σ)$ , donde $σ$ es la desviación típica. Propiedades destacadas de la curva normal:

Es simétrica respecto a $x = μ$ : la media, la mediana y la moda coinciden.

El área total bajo la curva es igual a 1.

Aproximadamente el 68% de los datos están dentro de $μ \pm σ$ ; el 95%, dentro de $μ \pm 2 σ$ ; y el 99,7%, dentro de $μ \pm 3 σ$ (regla empírica).

Figura 12. Regla empírica de la distribución normal.

Cálculos con la normal

Con calculadora o software, se puede calcular directamente $P (a < X < b)$ para $X \sim N (μ, σ)$ , sin necesidad de tablas ni de tipificar la variable. También es posible el cálculo inverso: dada una probabilidad, hallar el valor de $x$ (o el intervalo) que la produce.

Actividad resuelta

La altura de los estudiantes de un instituto sigue una distribución $𝐍 (𝟏𝟕𝟎, 𝟖)$ cm. Calcula la probabilidad de que un estudiante elegido al azar mida entre 165 y 180 cm, y halla la altura que solo supera el 10% de los estudiantes más altos.

$P (165 < X < 180) \approx 0, 6853 (c a l c u l a d o c o n X \sim N (170, 8))$

Para hallar la altura $h$ tal que $P (X > h) = 0, 10$ (equivalentemente, $P (X < h) = 0, 90$ ), se realiza el cálculo inverso de la normal:

$h \approx 180, 25 c m$

Figura 13. Probabilidad y valor h en una normal $N (170, 8^{2})$ .

🖩 Recursos tecnológicos

🧩 Distribución normal

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Calculadora CASIO fx-CG50

En MENU → STAT → DIST → NORMAL, la opción Ncd calcula directamente P(a<X<b) para X~N(μ,σ) introduciendo los límites, la media y la desviación típica; la opción InvN realiza el cálculo inverso, hallando el valor de x que corresponde a una probabilidad acumulada dada.

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Si X ∼ N(50; $10^{2}$ ), calcula con la calculadora $P (X < 60)$ , $P (X > 45)$ y $P (40 < X < 65)$ .

Ver solución

P(X < 60) ≈ 0,8413 ; P(X > 45) ≈ 0,6915 ; P(40 < X < 65) ≈ 0,7745

2. La altura de los alumnos sigue N(170; $8^{2}$ ). ¿Qué porcentaje mide más de 180 cm? ¿Y entre 160 y 175?

Ver solución

P(X > 180) ≈ 0,1056 ⇒ 10,6 % ; P(160 < X < 175) ≈ 0,6284 ⇒ 62,8 %

3. Con la misma distribución, halla la altura que supera al 90 % de los alumnos (percentil 90) con InvNorm.

Ver solución

InvNorm(0,90; 170; 8) ≈ 180,3 cm

4. Estandariza: si X ∼ N(100; $15^{2}$ ), halla z para $x = 130$ y $x = 85$ , e interpreta.

Ver solución

z = (130 − 100)/15 = 2 (dos desviaciones típicas por encima de la media) ; z = (85 − 100)/15 = −1 (una por debajo)

5. Las ventas diarias siguen N(200; $25^{2}$ ). Halla a tal que $P (X < a) = 0, 05$ y el intervalo simétrico alrededor de la media que contiene el 95 %.

Ver solución

a = InvNorm(0,05; 200; 25) ≈ 158,9. El intervalo del 95 % es 200 ± 1,96 · 25, es decir, (151,0; 249,0)

6. Una máquina llena botellas con media 500 ml y desviación 4 ml. ¿Qué proporción tiene menos de 492 ml? ¿Cuántas de 10 000 botellas se espera que tengan entre 496 y 504 ml?

Ver solución

P(X < 492) = P(Z < −2) ≈ 0,0228. Entre 496 y 504 (μ ± σ): 0,6827 · 10 000 ≈ 6827 botellas

7. Dibuja la curva normal para $N (μ = 12, σ = 3)$ y señala $μ \pm σ$ , $μ \pm 2 σ$ (regla 68-95-99,7).

Ver solución

Campana centrada en 12. μ ± σ = (9, 15) contiene el 68 % ; μ ± 2σ = (6, 18) el 95 % ; μ ± 3σ = (3, 21) el 99,7 %