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NM 3.2Resolución de triángulos rectángulos. Teoremas de seno y coseno

Uso de las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) para hallar los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. El teorema del seno y el teorema del coseno. Área de un triángulo.

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo, fijado uno de sus ángulos agudos θ, se llama cateto opuesto al lado situado frente a θ, cateto contiguo al lado que forma θ junto con la hipotenusa, e hipotenusa al lado de mayor longitud, opuesto al ángulo recto. Las razones trigonométricas de θ se definen como:

$s e n θ = \frac{c a t e t o o p u e s t o}{h i p o t e n u s a} cos θ = \frac{c a t e t o c o n t i g u o}{h i p o t e n u s a} tan θ = \frac{c a t e t o o p u e s t o}{c a t e t o c o n t i g u o}$

Figura 1. Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Estas razones permiten hallar un lado desconocido de un triángulo rectángulo (conocido un lado y un ángulo) o un ángulo desconocido (conocidos dos lados), usando la calculadora para evaluar o invertir las razones trigonométricas. Es recomendable, en cualquier problema de este tipo, hacer un dibujo claro y rotulado que recoja los datos conocidos antes de plantear la ecuación.

Estas razones están relacionadas por el teorema de Pitágoras: en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Actividad resuelta

En un triángulo rectángulo, un cateto mide 7 cm y el ángulo opuesto a dicho cateto es de 32°. Halla la hipotenusa y el otro cateto.

Solución: $s e n 32^{\circ} = \frac{7}{h}$ , luego $h = \frac{7}{s e n 32^{\circ}} \approx 13, 21$ cm. Para el otro cateto, b, se usa el teorema de Pitágoras: $b = \sqrt{h^{2} - 7^{2}} \approx \sqrt{174, 5 - 49} \approx 11, 20$ cm (o, de forma equivalente, $b = h \cdot cos 32^{\circ}$ ).

El teorema del seno y el teorema del coseno. Área de un triángulo utilizando $\frac{𝟏}{𝟐} 𝐚 𝐛 s e n 𝐂$ . Resolución de triángulos, incluidos problemas de aplicación.

Teorema del seno

En cualquier triángulo de lados $a, b, c$ y ángulos opuestos $A, B, C$ :

$\frac{a}{s e n A} = \frac{b}{s e n B} = \frac{c}{s e n C}$

Se utiliza cuando se conocen dos ángulos y un lado, o dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos.

Figura 2. Triángulo ABC: lados y ángulos opuestos; teoremas del seno y del coseno.

Teorema del coseno

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$

Se utiliza cuando se conocen los tres lados, o dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

Área de un triángulo

Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, el área del triángulo es:

$A = \frac{1}{2} a b s e n C$

Figura 3. Área de un triángulo a partir de dos lados y el ángulo comprendido.

Actividad resuelta

En un triángulo, $𝐚 = 𝟖$ cm, $𝐛 = 𝟏𝟎$ cm y el ángulo $𝐂 = 𝟒𝟎^{\circ}$ . Halla el lado $𝐜$ y el área del triángulo.

Por el teorema del coseno:

$c^{2} = 8^{2} + 10^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot cos 40^{\circ} \approx 64 + 100 - 122, 68 = 41, 32 \Rightarrow c \approx 6, 43 c m$

$A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot s e n 40^{\circ} \approx 25, 71 {c m}^{2}$

🖩 Recursos tecnológicos

Calculadora CASIO fx-CG50

Antes de resolver triángulos, en SHIFT → MENU (SET UP) → Angle hay que seleccionar Degree (grados). Las razones sin, cos y tan se calculan con sus teclas, y las razones inversas con SHIFT + sin, SHIFT + cos y SHIFT + tan (sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹). Para el teorema del seno o del coseno conviene guardar los resultados intermedios con la tecla ANS o en memorias (SHIFT + RCL) y redondear solo el resultado final.

🧩 Estudio de triángulos rectángulos

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✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. En un triángulo rectángulo ABC (recto en C) se conocen $A B = 10$ cm y el ángulo $A = 30^{\circ}$ . Calcula BC y AC.

Ver solución

BC = 10 · sen 30° = 5 cm ; AC = 10 · cos 30° ≈ 8,66 cm

2. Calcula el valor de x en cada triángulo rectángulo (catetos a y b, hipotenusa c):

a) $a = 6$ , $b = 8$ ; halla c

b) $c = 13$ , $a = 5$ ; halla b

c) $c = 20$ , ángulo $A = 40^{\circ}$ ; halla a

Ver solución

a) c = √(36 + 64) = 10

b) b = √(169 − 25) = 12

c) a = 20 · sen 40° ≈ 12,86

3. Halla el ángulo agudo θ (a 1 cifra decimal) sabiendo que:

a) $s e n θ = 0, 6$

b) $cos θ = 0, 25$

c) $tan θ = 2, 4$

Ver solución

a) θ = sen⁻¹ 0,6 ≈ 36,9°

b) θ = cos⁻¹ 0,25 ≈ 75,5°

c) θ = tan⁻¹ 2,4 ≈ 67,4°

4. En un triángulo ABC se conocen $a = 8$ cm, $B = 40^{\circ}$ y $C = 70^{\circ}$ . Halla A y los lados b y c con el teorema del seno.

Ver solución

A = 180° − 40° − 70° = 70° ; b = 8 · sen 40° / sen 70° ≈ 5,47 cm ; c = 8 · sen 70° / sen 70° = 8 cm

5. En un triángulo ABC: $a = 7$ cm, $b = 9$ cm y $C = 50^{\circ}$ . Halla el lado c con el teorema del coseno y, después, el ángulo A.

Ver solución

c² = 7² + 9² − 2 · 7 · 9 · cos 50° ⇒ c ≈ 7,00 cm. sen A / 7 = sen 50° / 7,00 ⇒ A ≈ 50,0°

6. En un triángulo ABC: $a = 5$ , $b = 7$ y $c = 10$ cm. Halla el mayor de los ángulos con el teorema del coseno.

Ver solución

El mayor ángulo es el opuesto al lado mayor (c = 10): cos C = (25 + 49 − 100) / (2 · 5 · 7) = −26/70 ⇒ C ≈ 111,8°

7. Caso ambiguo: en un triángulo ABC, $a = 6$ cm, $b = 8$ cm y $A = 40^{\circ}$ . Halla las dos posibles medidas del ángulo B.

Ver solución

sen B = 8 · sen 40° / 6 ≈ 0,857 ⇒ B ≈ 59,0° o B = 180° − 59,0° = 121,0° (ambos válidos, pues 40° + 121° < 180°)

8. Calcula el área de cada triángulo con la fórmula ½ab sen C:

a) $a = 6$ cm, $b = 9$ cm, $C = 35^{\circ}$

b) $a = 10$ cm, $b = 4$ cm, $C = 120^{\circ}$

Ver solución

a) ½ · 6 · 9 · sen 35° ≈ 15,49 cm²

b) ½ · 10 · 4 · sen 120° ≈ 17,32 cm²

9. Dos lados de un terreno triangular miden 40 m y 55 m y forman un ángulo de 65°. Halla el tercer lado y el área del terreno.

Ver solución

Tercer lado c: c² = 40² + 55² − 2 · 40 · 55 · cos 65° ⇒ c ≈ 52,6 m. Área = ½ · 40 · 55 · sen 65° ≈ 997 m²