MAI NM › Bloque 5 · Inferencia estadística y funciones › Tema 10 · derivadas

NM 5.3Derivadas de funciones polinómicas

La derivada de $f (x) = {a x}^{n}$ es $f' (x) = {a n x}^{n - 1}$ , con n entero. Derivada de funciones de la forma $f (x) = {a x}^{n} + {b x}^{n - 1} + \dots$ , con todos los exponentes enteros.

Regla de la potencia y derivada de sumas

Para derivar un término de la forma ${a x}^{n}$ , con n entero (positivo o negativo), se multiplica por el exponente y se resta una unidad al exponente: si $f (x) = {a x}^{n}$ , entonces $f' (x) = a \cdot n \cdot x^{n - 1}$ . La derivada de una constante es 0. Una suma de términos se deriva término a término.

Cuando hay x en el denominador, conviene reescribir primero el término con exponente negativo: $\frac{4}{x^{2}} = 4 x^{- 2}$ , cuya derivada es $- 8 x^{- 3} = - \frac{8}{x^{3}}$ .

Actividad resuelta

Deriva: a) $f (x) = 3 x^{4} - 2 x^{2} + 5 x - 7$ ; b) $g (x) = \frac{4}{x^{2}} + 6 x$ .

Solución: a) $f' (x) = 12 x^{3} - 4 x + 5$ . b) Se escribe $g (x) = 4 x^{- 2} + 6 x$ , luego $g' (x) = - 8 x^{- 3} + 6 = - \frac{8}{x^{3}} + 6$ .

La derivada como razón de cambio se interpreta en contexto: si $V (r) = \frac{4}{3} π r^{3}$ es el volumen de una esfera de radio r, entonces $\frac{d V}{d r} = 4 π r^{2}$ es la rapidez con que cambia el volumen por cada unidad que aumenta el radio.

🖩 Recursos tecnológicos

Calculadora CASIO fx-CG50

En MENU → RUN·MAT, la instrucción d/dx( f(x), a ) (OPTN → CALC → d/dx) calcula numéricamente el valor de la derivada en x = a, lo que permite comprobar el resultado de derivar a mano y evaluar. En MENU → GRAPH, tras dibujar la función, SHIFT+F5 (G-Solv) → d/dx muestra la pendiente de la curva en un punto elegido.

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Deriva:

a) $f (x) = x^{5}$

b) $f (x) = 7 x^{3}$

c) $f (x) = 4 x^{2} - 3 x + 8$

d) $f (x) = 10$

e) $f (x) = x^{- 2}$

f) $f (x) = 6 \sqrt{x}$

Ver solución

a) 5x⁴

b) 21x²

c) 8x − 3

d) 0

e) −2x⁻³

f) 3x^(−1/2) = 3/√x

2. Deriva, desarrollando primero si es necesario:

a) $f (x) = {(x + 3)}^{2}$

b) $f (x) = x (2 x - 5)$

c) $f (x) = \frac{x^{2} + 4 x}{x}$

d) $f (x) = \frac{3}{x^{2}}$

Ver solución

a) 2x + 6

b) f = 2x² − 5x ⇒ 4x − 5

c) f = x + 4 ⇒ 1

d) f = 3x⁻² ⇒ −6x⁻³ = −6/x³

3. Calcula $f' (2)$ y $f' (- 1)$ para $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 6 x$ .

Ver solución

f′(x) = 3x² − 8x + 6 ⇒ f′(2) = 2 ; f′(−1) = 17

4. Halla el punto de $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ en el que la pendiente de la tangente vale 4.

Ver solución

2x − 6 = 4 ⇒ x = 5 ; f(5) = 0 ⇒ punto (5, 0)

5. La posición de un móvil es $s (t) = 2 t^{3} - 3 t^{2} + 4 (m)$ . Halla la velocidad $v (t) = s' (t)$ y su valor a los 2 s. ¿Y la aceleración?

Ver solución

v(t) = 6t² − 6t ⇒ v(2) = 12 m/s ; a(t) = 12t − 6 ⇒ a(2) = 18 m/s²

6. Calcula la derivada de $f (x) = 2 x^{4} - \frac{x^{3}}{3} + 5 x - 7$ y evalúa $f' (0)$ y $f' (1)$ .

Ver solución

f′(x) = 8x³ − x² + 5 ⇒ f′(0) = 5 ; f′(1) = 12

7. Halla la derivada segunda de $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2 x$ .

Ver solución

f′(x) = 4x³ − 6x + 2 ; f″(x) = 12x² − 6