MAI NM › Bloque 5 · Inferencia estadística y funciones › Tema 10 · derivadas

NM 5.6Valores de x que anulan la derivada. Extremos

Valores de x para los cuales la pendiente de la curva es igual a cero. Resolución de $f' (x) = 0$ . Puntos máximos y mínimos locales.

Máximos y mínimos relativos

En un máximo o mínimo relativo de una función derivable, la recta tangente es horizontal, por lo que $f' (x) = 0$ . Para determinar de cuál de los dos se trata, se estudia el signo de $f' (x)$ a ambos lados de ese punto: si $f'$ pasa de positiva a negativa, hay un máximo relativo; si pasa de negativa a positiva, hay un mínimo relativo.

Actividad resuelta

Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos de $𝐟 (𝐱) = 𝐱^{𝟑} - 𝟑 𝐱$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$

Los ceros de $f' (x)$ son $x = - 1$ y $x = 1$ , que dividen la recta en tres intervalos. Estudiando el signo de $f' (x)$ en cada uno: $f' (x) > 0$ en $(- \infty, - 1)$ , $f' (x) < 0$ en $(- 1, 1)$ , y $f' (x) > 0$ en $(1, + \infty)$ .

Por tanto, $f$ es creciente en $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ y decreciente en $(- 1, 1)$ ; tiene un máximo relativo en $x = - 1$ ( $f (- 1) = 2$ ) y un mínimo relativo en $x = 1$ ( $f (1) = - 2$ ).

Uso de medios tecnológicos. Extremos locales y valores máximo y mínimo en un dominio

Con medios tecnológicos se puede generar $f' (x)$ a partir de $f (x)$ y hallar las soluciones de $f' (x) = 0$ resolviendo la ecuación. Hay que tener presente que los máximos y mínimos locales no son necesariamente los valores mayor y menor que toma la función en el dominio dado: también hay que comparar con los valores en los extremos del dominio.

Actividad resuelta

Dada $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2$ , halla sus extremos locales y, para $0 \leq x \leq 5$ , sus valores máximo y mínimo.

Solución: $f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 = 3 (x - 1) (x - 3) = 0$ en $x = 1$ y $x = 3$ . Como $f'$ pasa de positiva a negativa en $x = 1$ hay un máximo local, $f (1) = 6$ ; y como pasa de negativa a positiva en $x = 3$ hay un mínimo local, $f (3) = 2$ . En $[0, 5]$ : $f (0) = 2$ y $f (5) = 22$ . El valor máximo en el dominio es 22 (en $x = 5$ , un extremo del dominio, y no el máximo local) y el mínimo es 2 (en $x = 0$ y en $x = 3$ ).

Figura 6. Extremos locales y absolutos en un intervalo cerrado.

🖩 Recursos tecnológicos

🧩 Monotonía y extremos

Abrir en GeoGebra ↗

Calculadora CASIO fx-CG50

En MENU → GRAPH, tras representar la función, SHIFT+F5 (G-Solv) → MAX o MIN localiza directamente las coordenadas de los máximos y mínimos relativos visibles en la ventana gráfica, lo que permite contrastar el resultado obtenido al estudiar el signo de f'(x).

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Resuelve $f' (x) = 0$ y clasifica el extremo con el signo de $f'$ para $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ .

Ver solución

f′(x) = 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2. f′ pasa de negativa a positiva ⇒ mínimo en (2, −1)

2. Halla los extremos relativos de $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 2$ (puntos críticos y su naturaleza).

Ver solución

f′(x) = 3(x − 3)(x + 1). En x = −1: f′ pasa de positiva a negativa ⇒ máximo (−1, 7). En x = 3: pasa de negativa a positiva ⇒ mínimo (3, −25)

3. Halla los extremos de $f (x) = - x^{2} + 6 x - 4$ e indica si son máximo o mínimo.

Ver solución

f′(x) = −2x + 6 = 0 ⇒ x = 3 ; f″ = −2 < 0 ⇒ máximo en (3, 5)

4. Halla los puntos críticos de $f (x) = x^{4} - 8 x^{2}$ y clasifícalos con el criterio de la derivada segunda.

Ver solución

f′(x) = 4x(x² − 4) ⇒ x = 0, ±2. f″(x) = 12x² − 16: f″(0) = −16 < 0 ⇒ máximo (0, 0) ; f″(±2) = 32 > 0 ⇒ mínimos (−2, −16) y (2, −16)

5. Halla el valor de k para que $f (x) = x^{2} + k x + 5$ tenga un extremo en $x = 2$ .

Ver solución

f′(x) = 2x + k = 0 en x = 2 ⇒ k = −4

6. Con la calculadora halla las coordenadas del máximo de $f (x) = - x^{3} + 3 x + 1$ y compáralas con las del cálculo a mano.

Ver solución

f′(x) = −3x² + 3 = 0 ⇒ x = ±1 ; f″(1) = −6 < 0 ⇒ máximo en (1, 3) (y mínimo en (−1, −1))