NM 3.1Geometría euclídea tridimensional

La distancia entre dos puntos y el punto medio en el espacio tridimensional. Volumen y área de la superficie de cuerpos geométricos tridimensionales, incluidos prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas. El ángulo entre dos rectas o entre una recta y un plano.

Distancia y punto medio en el espacio

En el espacio tridimensional, cada punto se representa mediante tres coordenadas $(x,y,z)$. Dados dos puntos $A(x_1,y_1,z_1)$ y $B(x_2,y_2,z_2)$, la distancia entre ambos es:

$$d(A,B)=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2+{(z_2-z_1)}^2}$$

y el punto medio del segmento $AB$ es:

$$M=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2})$$

Figura 5. Distancia y punto medio entre dos puntos A y B en el espacio.

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

donde $a_p$ es la apotema de la pirámide y $g$ la generatriz del cono.

Figura 6. Cono, pirámide y esfera: elementos y fórmulas.

Ángulos entre rectas y planos

El ángulo entre dos rectas que se cortan es el menor de los ángulos que forman en el punto de corte. El ángulo entre una recta y un plano es el que forma la recta con su proyección ortogonal sobre el plano; si la recta es perpendicular al plano, el ángulo es de 90°, y si está contenida en él, es de 0°.

Un cono recto tiene radio 6 cm y altura 8 cm. Calcula su volumen y su área lateral.

La generatriz es $g=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{36+64}=10$ cm.

$$V=\frac{\pi r^{2}h}{3}=\frac{\pi \cdot 36\cdot 8}{3}=96\pi \approx 301,6{cm}^3$$

$$A_L=\pi rg=\pi \cdot 6\cdot 10=60\pi \approx 188,5{cm}^2$$