NM 4.11Contrastes de hipótesis

Hipótesis nula y alternativa, $H_0$ y $H_1$. Niveles de significación. Valor del parámetro p. Frecuencias esperadas y observadas. Prueba ${\chi }^2$ de independencia (tablas de contingencia, grados de libertad, valor crítico) y de bondad del ajuste. Prueba t de Student: comparación de las medias de dos poblaciones, con contrastes de una y de dos colas.

Idea general de un contraste de hipótesis

Un contraste de hipótesis es un procedimiento para decidir, a partir de una muestra, si los datos aportan evidencia suficiente en contra de una afirmación sobre la población. La afirmación que se pone a prueba es la hipótesis nula, $H_0$ (por ejemplo, "no hay relación entre las dos variables" o "las medias son iguales"); la hipótesis alternativa, $H_1$, es lo que se aceptaría si se rechaza $H_0$. Ambas pueden expresarse con palabras, mediante una ecuación ($H_0$: ${\mu }_1={\mu }_2$) o mediante una inecuación ($H_1$: ${\mu }_1>{\mu }_2$).

El nivel de significación (habitualmente 1 %, 5 % o 10 %) es la probabilidad máxima que se admite de rechazar $H_0$ cuando en realidad es cierta. El valor p es la probabilidad de obtener, si $H_0$ fuese cierta, unos resultados al menos tan extremos como los observados. La regla de decisión es: si $p<$ nivel de significación, se rechaza $H_0$ (el resultado es significativo); si $p\ge$ nivel de significación, no hay evidencia suficiente para rechazar $H_0$. Rechazar $H_0$ no demuestra que $H_1$ sea verdadera, y no rechazarla no demuestra que $H_0$ lo sea.

Prueba ${\chi }^2$ de independencia

Sirve para decidir si dos variables categóricas son independientes. Los datos se organizan en una tabla de contingencia (en los exámenes, con un máximo de cuatro filas o columnas). Las hipótesis son $H_0$: las variables son independientes; $H_1$: las variables no son independientes (están asociadas).

La frecuencia esperada de cada casilla, bajo $H_0$, es $\frac{totaldelafila\times totaldelacolumna}{totalgeneral}$. El estadístico es ${\chi }^2=\Sigma \frac{{(O-E)}^2}{E}$, donde O son las frecuencias observadas y E las esperadas. Los grados de libertad son $(filas-1)\times (columnas-1)$. Se rechaza $H_0$ si p es menor que el nivel de significación o, equivalentemente, si ${\chi }^2$ supera el valor crítico (que se da cuando procede). Con medios tecnológicos se obtienen ${\chi }^2$ y p directamente. Las frecuencias esperadas deben ser mayores que 5; si no, la prueba tiene limitaciones y sus resultados no son fiables.

Prueba t de Student para dos medias

La prueba t de Student permite comparar las medias de dos poblaciones a partir de dos muestras independientes, cuando se desconoce la varianza poblacional. Requiere que la variable estudiada siga una distribución normal en ambas poblaciones y, en los exámenes, se supone que ambas varianzas son iguales. Los cálculos se realizan con medios tecnológicos, que proporcionan el estadístico t y el valor p.

Se puede plantear un contraste de dos colas ($H_0$: ${\mu }_1={\mu }_2$ frente a $H_1$: ${\mu }_1\ne {\mu }_2$) o de una cola (por ejemplo, $H_1$: ${\mu }_1>{\mu }_2$). Para un mismo estadístico t, el valor p del contraste de una cola es la mitad del de dos colas (cuando el resultado va en el sentido de $H_1$). Al finalizar hay que interpretar el resultado en el contexto del problema.