NM 2.5Modelización con funciones

Modelización con funciones lineales, cuadráticas, de crecimiento y decrecimiento exponencial, de variación directa e inversa, cúbicas y sinusoidales.

Modelos lineales

Un modelo lineal tiene la forma $f\left(x\right)=mx+c$, donde m es la pendiente (la tasa de variación) y c es el valor inicial (la ordenada en el origen). Se utiliza siempre que una magnitud varía a un ritmo constante. Algunos modelos lineales están definidos a trozos (modelos lineales por tramos), por ejemplo, la profundidad del agua en una piscina mientras se llena, o las tarifas de un plan de telefonía móvil con un coste fijo más un coste por minuto adicional.

Modelos cuadráticos

Un modelo cuadrático tiene la forma $f\left(x\right)={ax}^2+bx+c$, con $a\ne 0$. Es apropiado para fenómenos con un único máximo o mínimo, como la trayectoria de un proyectil o el beneficio de una empresa en función del precio de venta. Sus características clave —vértice, eje de simetría, ceros o raíces, cortes con los ejes— pueden hallarse con medios tecnológicos.

Modelos de crecimiento y decrecimiento exponencial

Se utilizan modelos exponenciales, $f\left(x\right)={ka}^x+c$ (o, de forma equivalente, $f\left(x\right)={ka}^{-x}+c$ para el decrecimiento, con $a>0$, o $f\left(x\right)={ke}^{rx}+c$), cuando una magnitud crece o decrece a un ritmo proporcional a su propio valor: crecimiento de poblaciones, desintegración radioactiva, enfriamiento de un líquido, propagación de una epidemia, interés compuesto, depreciación. La recta $y=c$ es siempre una asíntota horizontal del modelo.

Variación directa e inversa

Un modelo de variación (directa o inversa) tiene la forma $f\left(x\right)={ax}^n$, con n entero. Cuando $n>0$ se habla de variación directa (si x aumenta, $f\left(x\right)$ también aumenta); cuando $n<0$ se habla de variación inversa, y el eje y $(x=0)$ es entonces una asíntota vertical del modelo. Ejemplos típicos son la ley de Boyle (presión y volumen de un gas) o las leyes de la oferta y la demanda.

Modelos cúbicos

Un modelo cúbico tiene la forma $f\left(x\right)={ax}^3+{bx}^2+cx+d$. Resulta útil para fenómenos con hasta dos puntos de inflexión o cambios de concavidad, como el volumen de una caja construida a partir de una lámina de área fija, o la cantidad de espacio desaprovechado en un recipiente donde se guardan pelotas de tenis.

Modelos sinusoidales

Los modelos sinusoidales, $f\left(x\right)=asen\left(bx\right)+d$ o $f\left(x\right)=acos\left(bx\right)+d$, describen fenómenos periódicos: las mareas, la altura de un punto de una noria o de la rueda de una bicicleta, las temperaturas medias a lo largo del año. El parámetro a es la amplitud, $\frac{{360}^{\circ }}{b}$ es el período, y $y=d$ es la ecuación del eje principal (la recta horizontal a medio camino entre el máximo y el mínimo de la función). No se exige saber transformar senx en cosx, solo identificar o calcular a, el período y d a partir de un contexto o de una gráfica.