NM 4.4Correlación lineal y regresión

Datos bivariados: diagrama de dispersión; correlación lineal. Coeficiente de correlación de Pearson, $𝐫$. Recta de regresión de mínimos cuadrados. Uso de la recta de regresión para la interpolación y la extrapolación (con precaución).

Diagrama de dispersión y correlación

Un diagrama de dispersión representa cada par de valores $(x_i,y_i)$ de dos variables como un punto en el plano, y permite observar si existe una relación (correlación) entre ambas, y si esta es lineal.

Coeficiente de correlación de Pearson

El coeficiente de correlación de Pearson, $r$, mide la fuerza y el sentido de la relación lineal entre dos variables, y toma valores entre $-1$ y $1$:

$$r=\frac{\sum _i^{}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum _i^{}{(x_i-\bar{x})}^2}\sqrt{\sum _i^{}{(y_i-\bar{y})}^2}}$$

Cuanto más cerca esté $\left|r\right|$ de 1, más fuerte es la correlación lineal (positiva si $r>0$, negativa si $r<0$); un valor de $r$ cercano a 0 indica ausencia de correlación lineal (aunque podría existir una relación no lineal).

Recta de regresión de mínimos cuadrados

La recta de regresión $y=mx+n$ es la recta que mejor se ajusta a la nube de puntos, minimizando la suma de los cuadrados de las distancias verticales de los puntos a la recta. Se utiliza para interpolar (estimar valores de $y$ dentro del rango de los datos observados, con fiabilidad razonable) o extrapolar (estimar valores fuera de ese rango, lo cual debe hacerse con precaución, ya que no hay garantía de que la relación lineal se mantenga fuera del rango estudiado).

Tipos de correlación, recta de ajuste a ojo y causalidad

En un diagrama de dispersión, la correlación puede ser positiva, nula o negativa, y fuerte, débil o inexistente. La recta de ajuste óptimo dibujada a ojo debe pasar por el punto correspondiente a la media (x̄, ȳ). Es fundamental distinguir entre correlación y causa: una correlación alta entre dos variables no implica que una sea la causa de la otra. Además, r solo tiene sentido en el contexto de relaciones lineales.

Figura 6. Tipos de correlación en un diagrama de dispersión.

Interpretación de la recta de regresión $y=ax+b$

En la recta de regresión de y sobre x, $y=ax+b$, la pendiente a indica cuánto varía y, por término medio, por cada unidad que aumenta x; y la ordenada en el origen b es el valor estimado de y cuando $x=0$ (que puede carecer de sentido en el contexto). La ecuación se halla con medios tecnológicos. Hay que tener presentes los peligros de la extrapolación, y que la recta de y sobre x no permite, en general, hacer predicciones fiables de x a partir de un valor de y.