MAI NM › Bloque 4 · Estadística y probabilidad › Tema 7 ·Estadística básica

NM 4.10Coeficiente de correlación por rangos de Spearman

Coeficiente de correlación por rangos de Spearman, $r_{s}$ . Pertinencia y limitaciones del coeficiente de Pearson y del de Spearman, y efecto de los valores atípicos.

Rangos y coeficiente de Spearman

El coeficiente de correlación por rangos de Spearman, $r_{s}$ , mide el grado de relación monótona entre dos variables (es decir, si una tiende siempre a crecer, o siempre a decrecer, cuando crece la otra). Se calcula con los rangos de los datos: se ordenan los valores de cada variable de menor a mayor y se asigna a cada uno su posición $(1, 2, 3, \dots)$ . Si hay datos iguales, se asigna a cada uno la media de las posiciones que ocuparían. Como el de Pearson, $r_{s}$ toma valores entre $- 1$ y 1. En los exámenes se halla con medios tecnológicos; si no hay empates puede obtenerse con la fórmula $r_{s} = 1 - 6 Σ \frac{d^{2}}{n (n^{2} - 1)}$ , donde d es la diferencia entre los rangos de cada par.

Tabla 4. Asignación de rangos con empates: los dos datos iguales a 15 ocupan las posiciones 2 y 3, y reciben el rango 2,5.

Dato x	12	15	15	20	23
Rango	1	2,5	2,5	4	5

Pearson frente a Spearman

El coeficiente de Pearson solo resulta útil para comprobar la linealidad de una relación, mientras que el de Spearman sirve para cualquier relación monótona. Además, Spearman es menos sensible a la presencia de valores atípicos que Pearson, que puede verse muy afectado por ellos.

Actividad resuelta

Para los datos $x = 10$ , 20, 30, 40, 50 e $y = 3$ , 9, 27, 81, 243, compara r y $r_{s}$ e interpreta el resultado.

Solución: los rangos de x e y coinciden $(1, 2, 3, 4, 5)$ , luego $d = 0$ en todos los pares y $r_{s} = 1$ : la relación es perfectamente monótona (y siempre crece con x). Sin embargo, la relación no es lineal, y con medios tecnológicos se obtiene $r \approx 0, 87 < 1$ . Pearson subestima aquí la relación, mientras que Spearman la capta por completo.

Figura 7. Pearson frente a Spearman: relación monótona no lineal y efecto de un valor atípico.

Un segundo ejemplo: para $x = 1$ , 2, 3, 4, 5, 6 e $y = 2$ , 4, 5, 7, 9, 60, el último valor de y es atípico: $r \approx 0, 73$ , afectado por el atípico, mientras que $r_{s} = 1$ , pues el orden de los datos no cambia.

🖩 Recursos tecnológicos

Calculadora CASIO fx-CG50

La calculadora no incluye una orden específica para el coeficiente de Spearman: se asignan primero los rangos de cada variable (resolviendo a mano los empates con la media de los rangos) y se introducen en MENU → STAT (rangos de x en List 1 y rangos de y en List 2); a continuación, CALC → REG → X → ax+b proporciona el coeficiente de correlación r de los rangos, que es el coeficiente de Spearman rₛ.

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Asigna rangos (empates: media de las posiciones) a los datos 12, 15, 15, 20, 23.

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Rangos: 1 ; 2,5 ; 2,5 ; 4 ; 5

2. Dos jueces ordenan a 6 concursantes: J1: 1, 2, 3, 4, 5, 6; J2: 2, 1, 4, 3, 6, 5. Calcula $r_{s}$ con la fórmula $1 - 6 Σ \frac{d^{2}}{n (n^{2} - 1)}$ e interpreta.

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d = −1, 1, −1, 1, −1, 1 ⇒ Σd² = 6 ⇒ rₛ = 1 − 6 · 6/(6 · 35) ≈ 0,829. Existe una concordancia fuerte y positiva entre los jueces

3. Con la calculadora halla el coeficiente de Spearman de $(x, y)$ : $(10, 8)$ , $(20, 12)$ , $(30, 11)$ , $(40, 25)$ , $(50, 40)$ .

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Rangos de y: 1, 3, 2, 4, 5 ⇒ Σd² = 2 ⇒ rₛ = 0,9. Relación monótona creciente fuerte

4. Da un conjunto de datos con relación monótona no lineal (por ejemplo $y = x^{3}$ ) y explica por qué $r_{s} = 1$ mientras que r de Pearson es menor que 1.

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Para y = x³ (x = 1, 2, 3, 4, 5) los rangos de x e y son idénticos, así que rₛ = 1. Pearson mide solo la linealidad: r ≈ 0,943 < 1 porque los puntos no están sobre una recta

5. ¿Cuándo es preferible Spearman a Pearson? Redacta dos situaciones.

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Es preferible cuando la relación es monótona pero no lineal, cuando hay valores atípicos que distorsionarían a Pearson, o cuando los datos son ordinales (rankings, escalas de opinión). Ej.: clasificaciones de dos jueces; relación entre horas de práctica y rendimiento con rendimientos decrecientes