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NM 3.4El círculo

El círculo: longitud de un arco de circunferencia y área de un sector circular. (En NM no se requiere el uso de radianes: todos los ángulos se expresan en grados.)

Longitud de un arco

En una circunferencia de radio r, un arco correspondiente a un ángulo central de n grados representa la fracción $\frac{n}{360}$ de la circunferencia completa. Por tanto, su longitud es:

$l o n g i t u d d e l a r c o = \frac{n}{360} \times 2 π r$

Área de un sector circular

De la misma manera, un sector circular de ángulo central n grados representa la fracción $\frac{n}{360}$ del círculo completo, por lo que su área es:

$á r e a d e l s e c t o r = \frac{n}{360} \times π r^{2}$

Figura 7. Sector circular: arco y área proporcionales al ángulo central.

Actividad resuelta

Un sector circular de radio 12 cm tiene un ángulo central de 50°. Calcula la longitud de su arco y su área.

Solución: longitud del arco $= \frac{50}{360} \times 2 π \times 12 \approx 10, 47$ cm. Área del sector $= \frac{50}{360} \times π \times 12^{2} \approx 62, 83 {c m}^{2}$ .

🖩 Recursos tecnológicos

Calculadora CASIO fx-CG50

Para calcular la longitud de un arco o el área de un sector, el ángulo puede estar en grados (fracción θ/360 de la circunferencia o del círculo) o en radianes (l = rθ, A = ½r²θ); en SHIFT → MENU (SET UP) → Angle hay que elegir el modo (Degree o Radian) coherente con los datos. El número π se introduce con SHIFT + ×10ˣ (π).

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Un círculo tiene radio 7 cm. Calcula su circunferencia y su área.

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C = 2π · 7 = 14π ≈ 43,98 cm ; A = π · 7² = 49π ≈ 153,94 cm²

2. Un sector circular de radio 9 cm tiene un ángulo central de 80°. Calcula la longitud de su arco y su área.

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Arco = 80/360 · 2π · 9 = 4π ≈ 12,57 cm ; Área = 80/360 · π · 9² = 18π ≈ 56,55 cm²

3. Un arco de 12 cm corresponde a un sector de radio 8 cm. Halla el ángulo central en grados.

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θ = 12/8 = 1,5 rad ≈ 85,9°

4. Un sector circular tiene área $30 {c m}^{2}$ y radio 6 cm. Halla el ángulo central.

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30 = ½ · 6² · θ ⇒ θ = 5/3 rad ≈ 95,5°

5. Un segmento circular está limitado por una cuerda y su arco. Para $r = 10$ cm y ángulo central 90°, calcula el área del segmento (área del sector menos área del triángulo).

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Sector = ¼ · π · 100 ≈ 78,54 cm² ; triángulo = ½ · 10 · 10 = 50 cm² ; segmento ≈ 28,54 cm²

6. En un círculo de radio 13 cm, una cuerda dista 5 cm del centro. Calcula la longitud de la cuerda.

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Semicuerda = √(13² − 5²) = 12 ⇒ cuerda = 24 cm

7. Una rueda de 60 cm de diámetro da 150 vueltas. ¿Qué distancia recorre, en metros?

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Longitud de una vuelta = π · 0,6 ≈ 1,885 m ; 150 vueltas ≈ 282,74 m

8. Convierte a radianes: 30°, 90°, 135°, 270°. Convierte a grados: $\frac{π}{6}$ , $2 \frac{π}{3}$ , $5 \frac{π}{4}$ .

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30° = π/6 ; 90° = π/2 ; 135° = 3π/4 ; 270° = 3π/2 ; π/6 = 30° ; 2π/3 = 120° ; 5π/4 = 225°