NM 4.3Medidas de centralización y de dispersión

Media, mediana y moda. Estimación de la media a partir de datos agrupados. Clase modal. Medidas de dispersión: rango intercuartílico, desviación típica y varianza. Efecto de los cambios constantes sobre los datos originales. Cuartiles de datos discretos.

Media, mediana y moda

La media ($\bar{x}$) es el promedio aritmético de los datos:

$$\bar{x}=\frac{\sum _i^{}{f}_i{x}_i}{N},N=\sum _i^{}{f}_i$$

La mediana ($Me$) es el valor que ocupa la posición central de los datos ordenados. La moda ($Mo$) es el valor que se presenta con mayor frecuencia.

Estimación a partir de datos agrupados

Cuando los datos están agrupados en intervalos, no se conoce su valor exacto, por lo que se toma la marca de clase (el punto medio de cada intervalo) como representante de todos los datos de esa clase, y se estima la media con la fórmula anterior usando las marcas de clase como $x_i$.

Clase modal

En datos agrupados, la clase modal es el intervalo con mayor frecuencia (o, si las clases tienen distinta amplitud, mayor densidad de frecuencia).

Estima la media de las edades de un grupo de 50 personas a partir de la siguiente tabla, e indica la clase modal.

Tabla 3. Edades de un grupo de 50 personas.

$$\bar{x}=\frac{120+600+700+280}{50}=\frac{1700}{50}=34años$$

La clase modal es $[20,40)$, por ser la de mayor frecuencia (20 personas).

Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión indican cuánto se alejan los datos respecto a su valor central.

El rango es la diferencia entre el valor máximo y el mínimo.

El rango intercuartílico ($RIC=Q_3-Q_1$) es la diferencia entre el tercer cuartil y el primer cuartil, y describe la dispersión del 50% central de los datos (más robusto frente a valores atípicos que el rango).

La varianza (${\sigma }^2$) es la media de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media:

$${\sigma }^2=\frac{\sum _i^{}{f}_i{(x_i-\bar{x})}^2}{N}$$

La desviación típica ($\sigma =\sqrt{{\sigma }^2}$) tiene las mismas unidades que los datos originales, por lo que suele preferirse a la varianza para interpretar la dispersión.

Figura 4. Dos distribuciones con la misma media y distinta desviación típica.

Efecto de las transformaciones lineales

Si a cada dato $x_i$ se le aplica una transformación lineal $y_i=a{x}_i+b$:

$$\bar{y}=a\bar{x}+b{\sigma }_y=\left|a\right|{\sigma }_x$$

es decir, sumar una constante $b$ desplaza la media pero no afecta a la dispersión, mientras que multiplicar por una constante $a$ afecta a ambas.

Cuartiles de datos discretos

Los cuartiles de datos discretos se calculan con medios tecnológicos. Conviene ser consciente de que existen varios métodos para hallarlos, por lo que el valor obtenido con una calculadora o una hoja de cálculo puede diferir del obtenido a mano. Por ejemplo, para los datos 2, 4, 5, 7, 8, 9, 12, si se separan los datos en dos mitades sin incluir la mediana, $Q_1=4$; si se interpola linealmente (como hacen muchas hojas de cálculo), $Q_1=4,5$.