NM 5.5Integración de funciones polinómicas

Introducción a la integración como primitiva de funciones de la forma $f\left(x\right)={ax}^n+{bx}^{n-1}+\dots$, con n entero y $n\ne -1$. Integración con una condición para determinar el término constante. Integrales definidas con medios tecnológicos. Área de una región delimitada por una curva $y=f\left(x\right)$ y el eje x, con $f\left(x\right)>0$.

Primitivas

La integración es el proceso inverso de la derivación: F es una primitiva de f si $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Como la derivada de una constante es 0, si F es una primitiva también lo es $F+c$, para cualquier constante c; la integral indefinida $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+c$ representa toda la familia de primitivas.

Para funciones polinómicas, con n entero y $n\ne -1$: $\int {ax}^{n}dx=a\cdot \frac{x^{n+1}}{n+1}+c$, es decir, se suma una unidad al exponente y se divide por el nuevo exponente. Una suma se integra término a término.

Figura 8. Familia de funciones con la misma derivada: se diferencian en la constante c.

Cálculo de la constante a partir de una condición

Si se conoce un punto de la primitiva, se puede hallar c. Ejemplo: si $\frac{dy}{dx}=3x^2+x$ e $y=10$ cuando $x=1$, entonces $y=x^3+\frac{x^2}{2}+c$; sustituyendo, $10=1+\frac{1}{2}+c$, luego $c=8,5$ e $y=x^3+\frac{x^2}{2}+8,5$.

Integral definida y área bajo una curva

Si $f\left(x\right)>0$ en el intervalo $[a,b]$, el área de la región limitada por la curva $y=f\left(x\right)$, el eje x y las rectas $x=a$ y $x=b$ es la integral definida de f entre a y b. Hay una relación entre primitivas, integrales definidas y área bajo la curva: si F es una primitiva de f, el valor de la integral definida es $F\left(b\right)-F\left(a\right)$. En los exámenes se espera que se escriba primero la expresión correcta de la integral y que su valor se calcule con medios tecnológicos.