NM 3.3Ángulos de elevación y depresión. Problemas de aplicación
Aplicaciones de la trigonometría de triángulos rectángulos y no rectángulos (combinando razones trigonométricas, el teorema de Pitágoras y los teoremas del seno y del coseno según convenga). Ángulo de elevación y ángulo de depresión. Elaboración de diagramas rotulados a partir de enunciados escritos.
Muchos problemas de trigonometría combinan varios triángulos (rectángulos y no rectángulos) dentro de una misma figura: conviene elaborar primero un diagrama rotulado con todos los datos del enunciado, identificar qué triángulo contiene la incógnita, y decidir si hace falta una razón trigonométrica simple, el teorema de Pitágoras, o los teoremas del seno o del coseno.
Ángulos de elevación y de depresión
El ángulo de elevación es el que forma la línea de visión de un observador con la horizontal, al mirar hacia un objeto situado por encima de él; el ángulo de depresión es el análogo al mirar hacia un objeto situado por debajo. Ambos ángulos se resuelven habitualmente planteando un triángulo rectángulo y aplicando las razones trigonométricas básicas.
Figura 4. Ángulos de elevación y de depresión (alternos internos, por tanto iguales).
Actividad resuelta
Desde un punto situado a 50 m de la base de una torre, el ángulo de elevación de su parte más alta es de 35°. Calcula la altura de la torre.
✎ Problemas para practicar en clase
Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.
1. Dibuja un esquema que represente: «desde un punto del suelo se ve la parte alta de un árbol con un ángulo de elevación de 35°». Marca el ángulo de elevación y el de depresión desde la copa hasta el punto.
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Esquema: el ángulo de elevación (35°) se mide desde la horizontal del observador hacia arriba hasta la copa; el de depresión, desde la horizontal de la copa hacia abajo hasta el observador. Ambos miden 35° (ángulos alternos internos)
2. Desde un punto situado a 30 m de la base de una torre se ve su parte superior con un ángulo de elevación de 52°. Halla la altura de la torre.
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h = 30 · tan 52° ≈ 38,4 m
3. Un observador que está en lo alto de un acantilado de 45 m ve un barco con un ángulo de depresión de 18°. ¿A qué distancia horizontal de la base del acantilado está el barco?
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d = 45 / tan 18° ≈ 138,5 m
4. Una escalera de 5 m se apoya en una pared formando un ángulo de 65° con el suelo. ¿A qué altura llega y a qué distancia de la pared está su base?
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Altura = 5 · sen 65° ≈ 4,53 m ; distancia de la base a la pared = 5 · cos 65° ≈ 2,11 m
5. Desde dos puntos A y B, alineados con el pie de un poste y separados 20 m, se ve su extremo superior con ángulos de elevación de 30° y 45°. Halla la altura del poste.
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Sea h la altura y x la distancia del pie del poste al punto B (más cercano). tan 45° = h/x y tan 30° = h/(x + 20) ⇒ x = h y h = (h + 20)/√3 ⇒ h(√3 − 1) = 20 ⇒ h ≈ 27,3 m
6. Un avión vuela a 3000 m de altura y ve una pista con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia en línea recta se encuentra de la pista?
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d = 3000 / sen 12° ≈ 14 429 m ≈ 14,4 km (la distancia horizontal sería 3000 / tan 12° ≈ 14 114 m)