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NM 1.6Aproximaciones y errores

Redondeo a cifras decimales y a cifras significativas. Cota superior e inferior de un número redondeado. Porcentajes de error. Estimación.

Redondeo a cifras decimales y a cifras significativas

Redondear un número consiste en aproximarlo con un número determinado de cifras decimales o de cifras significativas, eligiendo el grado de precisión más adecuado según el contexto y los datos disponibles. Las cifras significativas de un número son todas sus cifras a partir de la primera distinta de cero (por la izquierda), incluyendo los ceros intermedios y los ceros finales que sean realmente medidos.

Cota superior e inferior de un número redondeado

Cuando un número x se redondea a una determinada precisión, el valor real de x queda comprendido en un intervalo [cota inferior, cota superior) centrado en el valor redondeado, cuya amplitud total es igual a la unidad de redondeo utilizada.

Por ejemplo, si $x = 4, 1$ es el resultado de redondear a una cifra decimal, el valor real de x cumple $4, 05 \leq x < 4, 15$ (cota inferior 4,05 y cota superior 4,15).

Figura 2. Redondeo: los valores que se aproximan a 4,1 están en el intervalo [4,05; 4,15[.

Porcentaje de error

El porcentaje de error compara un valor aproximado (o medido) VA con el valor exacto (o esperado) VE, y se calcula mediante la expresión:

$% e r r o r = \frac{| V A - V E |}{| V E |} \times 100$

Es importante tener en cuenta que los errores de medición (por ejemplo, los debidos al redondeo o a las limitaciones del instrumento de medida) se propagan a cualquier cálculo posterior que se realice con esa medida; por ello, conviene saber calcular el máximo porcentaje de error que puede cometerse en un cálculo derivado (como el área de un círculo) a partir del error de la magnitud medida (como su radio).

Estimación

Estimar consiste en valorar si el resultado de un cálculo es razonable, antes incluso de comprobarlo con exactitud. Por ejemplo, una longitud, un área, una probabilidad o una desviación típica nunca pueden ser negativas, así que un resultado negativo en esos contextos indica necesariamente un error de cálculo.

Actividad resuelta

El radio de un círculo se mide y se obtiene $r = 2, 5$ cm, redondeado a una cifra decimal. Halla el máximo porcentaje de error que se puede cometer al calcular el área del círculo con ese valor de r.

Solución: la medida real de r está comprendida entre la cota inferior 2,45 cm y la cota superior 2,55 cm. El área calculada con el valor redondeado es $A = π \cdot {(2, 5)}^{2} \approx 19, 635 {c m}^{2}$ . El área máxima posible (con la cota superior) es $A_{m a x} = π \cdot {(2, 55)}^{2} \approx 20, 429 {c m}^{2}$ , y el área mínima posible (con la cota inferior) es $A_{m i n} = π \cdot {(2, 45)}^{2} \approx 18, 857 {c m}^{2}$ . El mayor porcentaje de error se produce frente al extremo más alejado del valor calculado; comparando con $A_{m a x}$ : % error $= \frac{| 20, 429 - 19, 635 |}{19, 635} \times 100 \approx 4, 0$ %.

🖩 Recursos tecnológicos

Calculadora CASIO fx-CG50

En SHIFT → MENU (SET UP) → Display, la opción Fix n redondea todos los resultados a n cifras decimales y Sci n a n cifras significativas; así se comprueba directamente si un resultado calculado con más cifras es coherente con el resultado redondeado. Para estudiar los errores, conviene calcular el área o el volumen con la cota inferior y con la cota superior de cada medida y comparar ambos resultados.

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Redondea 4573,826 a:

a) 2 cifras decimales

b) 1 cifra decimal

c) 3 cifras significativas

d) 2 cifras significativas

e) las centenas

Ver solución

a) 4573,83

b) 4573,8

c) 4570

d) 4600

e) 4600

2. Redondea 0,004072 a 2 cifras significativas y a 3 cifras decimales.

Ver solución

2 c.s.: 0,0041; 3 cifras decimales: 0,004

3. La longitud de una varilla, redondeada a 1 cifra decimal, es 8,3 cm. Halla la cota inferior y la cota superior de su longitud y escribe el intervalo al que pertenece.

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cota inferior 8,25 cm y cota superior 8,35 cm: 8,25 ≤ L < 8,35

4. El lado de un cuadrado mide 6,5 cm, redondeado a 1 cifra decimal. Halla las cotas inferior y superior del área del cuadrado.

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lado: 6,45 ≤ l < 6,55. Área mínima = 6,45² = 41,6025 cm²; área máxima = 6,55² = 42,9025 cm² (41,6025 ≤ A < 42,9025)

5. Se utiliza 3,14 como valor aproximado de $π (π = 3, 14159265 \dots)$ . Calcula el error absoluto y el porcentaje de error.

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Error absoluto = |3,14 − 3,14159…| ≈ 0,00159. Porcentaje de error = (0,00159 / 3,14159) × 100 ≈ 0,0506 %

6. Un estadio tiene 52 340 espectadores, pero un periódico publica «50 000». Calcula el porcentaje de error cometido.

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(|50 000 − 52 340| / 52 340) × 100 ≈ 4,47 %

7. Estima mentalmente el valor de $\frac{49, 8 \times 20, 3}{9, 9}$ redondeando cada número a una cifra significativa. Después calcula el valor exacto con calculadora y halla el porcentaje de error de tu estimación.

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Estimación: 50 × 20 / 10 = 100. Valor exacto: 49,8 × 20,3 / 9,9 ≈ 102,1. Error = (|100 − 102,1| / 102,1) × 100 ≈ 2,07 %