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NM 1.3Progresiones geométricas

Progresiones geométricas y series. Uso de las fórmulas del término n-ésimo y de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica.

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija $r$ , llamada razón:

$u_{n} = u_{n - 1} \cdot r$

Término general

$u_{n} = u_{1} \cdot r^{n - 1}$

Suma de los n primeros términos

Si $r \neq 1$ , la suma de los $n$ primeros términos de una progresión geométrica es:

$S_{n} = \frac{u_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Figura 8. Una progresión geométrica: crecimiento multiplicativo de razón r.

Actividad resuelta

En una progresión geométrica, $𝐮_{𝟏} = 𝟓$ y $𝐫 = 𝟑$ . Halla $𝐮_{𝟖}$ y la suma de los 8 primeros términos.

$u_{8} = u_{1} \cdot r^{7} = 5 \cdot 3^{7} = 10935$

$S_{8} = \frac{u_{1} (r^{8} - 1)}{r - 1} = \frac{5 (3^{8} - 1)}{3 - 1} = \frac{5 \cdot 6560}{2} = 16400$

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Indica si cada sucesión es geométrica y, en caso afirmativo, halla la razón r:

a) 2, 6, 18, 54, …

b) 100, 50, 25, …

c) 5, 10, 15, 20, …

d) 3, $- 6$ , 12, $- 24$ , …

Ver solución

a) Sí, r = 3

b) Sí, r = 1/2

c) No (es aritmética)

d) Sí, r = −2

2. En una progresión geométrica $u_{1} = 4$ y $r = 2$ . Escribe los seis primeros términos, calcula $u_{6}$ y halla el término general $u_{n}$ .

Ver solución

4, 8, 16, 32, 64, 128 ; u₆ = 128 ; uₙ = 4 · 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ⁺¹

3. En una progresión geométrica $u_{2} = 12$ y $u_{5} = 96$ . Halla la razón, $u_{1}$ y el término general.

Ver solución

r³ = 96 / 12 = 8 ⇒ r = 2 ; u₁ = 12 / 2 = 6 ; uₙ = 6 · 2ⁿ⁻¹ = 3 · 2ⁿ

4. Halla la suma de los 8 primeros términos de la progresión geométrica 3, 6, 12, 24, …

Ver solución

S₈ = 3 · (2⁸ − 1) / (2 − 1) = 765

5. Halla la suma de los 6 primeros términos de la progresión geométrica 81, 27, 9, 3, …

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r = 1/3 ; S₆ = 81 · (1 − (1/3)⁶) / (1 − 1/3) ≈ 121,33

6. Una pelota se deja caer desde 2 m de altura y en cada rebote alcanza el 60 % de la altura anterior. ¿Qué altura alcanza después del quinto rebote?

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Altura = 2 · 0,6⁵ = 0,15552 ≈ 0,156 m

7. Una población de 500 individuos crece un 8 % cada año. ¿Cuántos individuos habrá al cabo de 10 años?

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500 · 1,08¹⁰ ≈ 1079 individuos

8. ¿Cuántos términos de la progresión 2, 4, 8, 16, … hacen falta para superar 1000?

Ver solución

uₙ = 2ⁿ ; el primero que supera 1000 es u₁₀ = 1024, es decir, hacen falta 10 términos. (Si se pide que la suma supere 1000: Sₙ = 2ⁿ⁺¹ − 2 > 1000 ⇒ n = 9, S₉ = 1022)