MAE NS › Bloque 2 · Funciones y derivadas › Derivadas

NM 5.3Concavidad y puntos de inflexión: La segunda derivada

La segunda derivada. Interpretación gráfica de $𝐟 ″ (𝐱) > 𝟎$ y $𝐟 ″ (𝐱) < 𝟎$ : concavidad hacia arriba y hacia abajo. Puntos de inflexión.

La segunda derivada y la concavidad

La segunda derivada, $f ″ (x)$ , es la derivada de la derivada, y su signo describe la concavidad de la gráfica de $f$ :

$$f''(x) > 0\ en\ un\ intervalo\ \ \Rightarrow \ \ f\ es\ \mathbf{cóncava\ hacia\ arriba}\ (forma\ de\ "u")\ en\ ese\ intervalo$$

$$f''(x) < 0\ en\ un\ intervalo\ \ \Rightarrow \ \ f\ es\ \mathbf{cóncava\ hacia\ abajo}\ (forma\ de\ "n")\ en\ ese\ intervalo$$

Puntos de inflexión

Un punto de inflexión es un punto donde la gráfica de $f$ cambia de concavidad. En un punto de inflexión con segunda derivada definida, se cumple $f ″ (x) = 0$ ; sin embargo, esta condición no es suficiente, por lo que debe comprobarse que $f ″ (x)$ realmente cambia de signo a ambos lados de ese punto.

Figura 36. Concavidad y punto de inflexión de $f (x) = x^{3} - 3 x$ .

Actividad resuelta

Estudia la concavidad de $𝐟 (𝐱) = 𝐱^{𝟑} - 𝟑 𝐱$ y halla sus puntos de inflexión.

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 f ″ (x) = 6 x$

$f ″ (x) = 0 \to x = 0$ . Como $f ″ (x) < 0$ para $x < 0$ (cóncava hacia abajo) y $f ″ (x) > 0$ para $x > 0$ (cóncava hacia arriba), en $x = 0$ hay realmente un cambio de concavidad: $(0, f (0)) = (0, 0)$ es un punto de inflexión.

🖩 Recursos tecnológicos

🧩 Curvatura y puntos de inflexión

Abrir en GeoGebra ↗

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Para $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ calcula $f' (x)$ y f″(x), y determina los intervalos de concavidad y el punto de inflexión.

Ver solución

f′ = 3x² − 12x + 9 ; f″ = 6x − 12. f″ < 0 si x < 2 (cóncava hacia abajo) y f″ > 0 si x > 2 (cóncava hacia arriba). Punto de inflexión: (2, 2)

2. Halla los puntos de inflexión de $f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ estudiando el signo de f″.

Ver solución

f″ = 12x(x − 2): positiva en (−∞, 0), negativa en (0, 2) y positiva en (2, ∞). Inflexiones en x = 0 y x = 2: puntos (0, 0) y (2, −16)

3. Clasifica los puntos críticos de $f (x) = x^{3} - 3 x$ utilizando el criterio de la segunda derivada.

Ver solución

f′ = 3x² − 3 = 0 ⇒ x = ±1 ; f″ = 6x. f″(1) = 6 > 0 ⇒ mínimo (1, −2) ; f″(−1) = −6 < 0 ⇒ máximo (−1, 2)

4. Una función cumple $f' (2) = 0$ y f″ $(2) = - 3$ . ¿Qué tipo de punto es $x = 2$ ? ¿Y si f″ $(2) = 0$ ?

Ver solución

f′(2) = 0 y f″(2) = −3 < 0 ⇒ máximo local. Si f″(2) = 0 el criterio no decide: puede ser máximo, mínimo o inflexión horizontal; hay que estudiar el signo de f′ a ambos lados

5. Dibuja una gráfica que sea creciente y cóncava hacia abajo en ]0, 4[ y decreciente y cóncava hacia arriba en ]4, 8[. Indica el signo de $f'$ y f″ en cada tramo.

Ver solución

En ]0, 4[: f′ > 0 y f″ < 0. En ]4, 8[: f′ < 0 y f″ > 0. En x = 4 hay un máximo; como f″ cambia de negativa a positiva sin pasar por un máximo suave, la gráfica tiene un pico (no derivable) en x = 4