NM 3.4El círculo

La circunferencia unidad. Definición de $sen𝛉$ y $𝐜𝐨𝐬𝛉$ en términos de la circunferencia unidad. Definición de $𝐭𝐚𝐧𝛉$ como $\frac{sen𝛉}{𝐜𝐨𝐬𝛉}$. Extensión de las razones trigonométricas a cualquier ángulo.

La circunferencia unidad

La circunferencia unidad es la circunferencia de radio 1 centrada en el origen de coordenadas. Para un ángulo $\theta$ medido en sentido antihorario desde el semieje positivo de abscisas, el punto $P$ donde el lado móvil del ángulo corta a la circunferencia tiene coordenadas:

$$P\left(\theta \right)=(cos\theta ,sen\theta )$$

Esta definición permite extender el seno y el coseno a cualquier ángulo, no solo a los agudos de un triángulo rectángulo, incluyendo ángulos mayores de 90° o negativos.

La tangente

A partir del seno y el coseno se define la tangente de un ángulo como:

$$tan\theta =\frac{sen\theta }{cos\theta },cos\theta \ne 0$$

Signos según el cuadrante

El signo de $sen\theta$ y $cos\theta$ depende del cuadrante en el que se encuentre $P\left(\theta \right)$: ambos son positivos en el primer cuadrante; en el segundo, el seno es positivo y el coseno negativo; en el tercero, ambos son negativos; y en el cuarto, el coseno es positivo y el seno negativo.

Figura 43. Circunferencia unidad: las coordenadas del punto $P\left(\theta \right)$ son (cos θ, sen θ).

Utilizando la circunferencia unidad, halla el valor exacto de sen 150° y cos 150°.

El ángulo 150° está en el segundo cuadrante, y su ángulo de referencia es $180{}^{\circ }-150{}^{\circ }=30{}^{\circ }$. Como en el segundo cuadrante el seno es positivo y el coseno negativo:

$$sen150{}^{\circ }=sen30{}^{\circ }=\frac{1}{2}cos150{}^{\circ }=-cos30{}^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$