NM 5.1Límites y noción de derivada

Idea intuitiva de límite de una función. La derivada de una función en un punto como razón de cambio instantánea y como pendiente de la recta tangente a la curva. Definición de la derivada a partir de un límite.

Idea intuitiva de límite

El límite de una función $f\left(x\right)$ cuando $x$ tiende a un valor $a$, escrito ${lim}_{x\to a}f\left(x\right)$, es el valor al que se acerca $f\left(x\right)$ a medida que $x$ se acerca a $a$ (sin necesariamente llegar a valer $a$). Este concepto permite estudiar el comportamiento de una función cerca de un punto, incluso si la función no está definida exactamente en ese punto.

La derivada como razón de cambio y como pendiente

La tasa de variación media de $f$ entre $x=a$ y $x=a+h$ es $\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}$, la pendiente de la recta secante que une ambos puntos. La derivada de $f$ en $x=a$, $f\prime \left(a\right)$, se define como el límite de esta tasa de variación media cuando $h\to 0$:

$$f\prime \left(a\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}$$

Geométricamente, $f\prime \left(a\right)$ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(a,f\left(a\right))$; físicamente, representa la razón de cambio instantánea de $f$ en $x=a$ (por ejemplo, la velocidad instantánea si $f$ es una función de posición).

Figura 34. La pendiente de la tangente es el límite de las pendientes de las secantes.