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NS 2.14Funciones racionales de grado superior

Funciones racionales de la forma $𝐟 (𝐱) = \frac{𝐚 𝐱^{𝟐} + 𝐛 𝐱 + 𝐜}{𝐝 𝐱 + 𝐞}$ y $𝐟 (𝐱) = \frac{𝐚 𝐱^{𝟐} + 𝐛 𝐱 + 𝐜}{𝐝 𝐱^{𝟐} + 𝐞 𝐱 + 𝐟}$ . Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.

Funciones racionales con numerador o denominador cuadrático

Estas funciones racionales presentan, según los grados relativos del numerador y el denominador, distintos tipos de asíntotas:

Asíntotas verticales: en los valores de $x$ que anulan el denominador (y no anulan simultáneamente al numerador).
Asíntota horizontal: existe cuando el grado del numerador es menor o igual que el del denominador. Si ambos grados coinciden, la asíntota horizontal es $y = \frac{a}{d}$ (cociente de los coeficientes de mayor grado).
Asíntota oblicua: existe cuando el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el del denominador (como en $f (x) = \frac{a x^{2} + b x + c}{d x + e}$ ); se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador, siendo el cociente (sin el resto) la ecuación de la asíntota oblicua.

Figura 31. Funciones racionales: asíntota vertical y oblicua (izquierda); dos verticales y una horizontal (derecha).

Actividad resuelta

Halla las asíntotas de $𝐟 (𝐱) = \frac{𝐱^{𝟐} - 𝟏}{𝐱 - 𝟐}$ .

Asíntota vertical: $x - 2 = 0 \to x = 2$ (y el numerador no se anula en $x = 2$ ).

Como el grado del numerador (2) es una unidad mayor que el del denominador (1), hay una asíntota oblicua. Dividiendo:

$x^{2} - 1 = (x - 2) (x + 2) + 3 \Rightarrow f (x) = x + 2 + \frac{3}{x - 2}$

La asíntota oblicua es, por tanto, $y = x + 2$ (el término $\frac{3}{x - 2}$ tiende a 0 cuando $x \to \pm \infty$ ).

🖩 Recursos tecnológicos

🧩 Funciones racionales

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Calculadora CASIO fx-CG50

Además de representar la función en MENU → GRAPH, el menú TABLE permite comprobar el comportamiento cerca de una asíntota vertical generando una tabla de valores de X muy próximos al valor que anula el denominador, observando cómo Y1 crece o decrece sin límite.

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Halla las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de:

a) $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x - 1}$

b) $g (x) = 2 \frac{x^{2}}{x^{2} - 9}$

c) $h (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + x - 6}$

Ver solución

a) VA: x = 1 ; no hay HA ; oblicua: y = x + 1

b) VA: x = ±3 ; HA: y = 2

c) VA: x = −3 y x = 2 ; HA: y = 0

2. Escribe $\frac{x^{2} + 3 x + 1}{x + 1}$ como cociente más resto/denominador y deduce su asíntota oblicua.

Ver solución

(x² + 3x + 1)/(x + 1) = x + 2 − 1/(x + 1). Asíntota oblicua: y = x + 2

3. Esboza $f (x) = \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 3)}$ indicando asíntotas, cortes con los ejes y signo.

Ver solución

VA: x = −2 y x = 3 ; HA: y = 0 ; corte con X: (1, 0) ; corte con Y: (0, 1/6). Signo: − en (−∞, −2), + en (−2, 1), − en (1, 3), + en (3, ∞)

4. Simplifica $f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - x - 2}$ e indica dónde presenta una discontinuidad evitable y dónde una asíntota vertical.

Ver solución

f(x) = (x − 2)(x + 2)/[(x − 2)(x + 1)] = (x + 2)/(x + 1). Discontinuidad evitable en x = 2 (hueco en (2, 4/3)) y asíntota vertical en x = −1

5. Halla a, b y c para que $f (x) = \frac{a x + b}{x + c}$ tenga asíntotas $x = - 2$ e $y = 3$ y pase por $(0, 1)$ .

Ver solución

VA x = −2 ⇒ c = 2 ; HA y = a = 3 ; f(0) = b/2 = 1 ⇒ b = 2. f(x) = (3x + 2)/(x + 2)