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NS 4.11El teorema de Bayes

El teorema de Bayes para un máximo de tres sucesos.

El teorema de Bayes

El teorema de Bayes permite “invertir” una probabilidad condicionada: a partir de $P (B | A)$ , calcular $P (A | B)$ . Para dos sucesos $A$ y $B$ :

$P (A | B) = \frac{P (B | A) \cdot P (A)}{P (B)}$

Cuando el suceso $B$ puede darse a través de varios sucesos $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ (que forman una partición del espacio muestral, mutuamente excluyentes y que cubren todos los casos), la probabilidad total de $B$ se calcula como:

$P (B) = P (B | A_{1}) P (A_{1}) + P (B | A_{2}) P (A_{2}) + P (B | A_{3}) P (A_{3})$

y el teorema de Bayes, para hallar $P (A_{i} | B)$ , se expresa como:

$P (A_{i} | B) = \frac{P (B | A_{i}) \cdot P (A_{i})}{P (B | A_{1}) P (A_{1}) + P (B | A_{2}) P (A_{2}) + P (B | A_{3}) P (A_{3})}$

Un diagrama de árbol es de gran ayuda para organizar los datos antes de aplicar la fórmula.

Figura 23. Diagrama de árbol: las probabilidades condicionadas se multiplican a lo largo de cada rama.

Actividad resuelta

Una fábrica tiene tres máquinas, A, B y C, que producen el 50%, el 30% y el 20% de las piezas respectivamente. El porcentaje de piezas defectuosas de cada máquina es del 2%, 3% y 5% respectivamente. Se elige una pieza al azar y resulta defectuosa. Calcula la probabilidad de que proceda de la máquina C.

$P (D) = P (D | A) P (A) + P (D | B) P (B) + P (D | C) P (C) = 0, 02 (0, 5) + 0, 03 (0, 3) + 0, 05 (0, 2) = 0, 01 + 0, 009 + 0, 01 = 0, 029$

$P (C | D) = \frac{P (D | C) P (C)}{P (D)} = \frac{0, 05 \cdot 0, 2}{0, 029} = \frac{0, 01}{0, 029} \approx 0, 345$

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Una fábrica tiene dos máquinas: la máquina A produce el 60 % de las piezas y la B el 40 %. El 2 % de las piezas de A y el 5 % de las de B son defectuosas. Dibuja el diagrama de árbol y calcula la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa.

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P(D) = 0,6 · 0,02 + 0,4 · 0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032

2. En el problema anterior, se elige una pieza y resulta defectuosa. Calcula la probabilidad de que proceda de la máquina B.

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P(B | D) = 0,020/0,032 = 0,625

3. El 1 % de una población tiene una enfermedad. Una prueba da positivo en el 95 % de los enfermos y en el 4 % de los sanos. Si una persona da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que esté enferma?

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P(enfermo | +) = 0,01 · 0,95 / (0,01 · 0,95 + 0,99 · 0,04) = 0,0095/0,0491 ≈ 0,194

4. Se tienen tres urnas: $U_{1}$ con 2 bolas rojas y 3 azules, $U_{2}$ con 4 rojas y 1 azul, y $U_{3}$ con 3 rojas y 3 azules. Se elige una urna al azar y se extrae una bola, que resulta roja. Halla la probabilidad de que proceda de $U_{2}$ .

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P(roja) = ⅓(2/5 + 4/5 + 3/6) = 1,7/3 ≈ 0,567 ; P(U₂ | roja) = (⅓ · 4/5)/(1,7/3) = 8/17 ≈ 0,471

5. Si $P (A) = 0, 3$ , $P (B ∣ A) = 0, 8$ y $P (B ∣ A') = 0, 1$ , calcula $P (B)$ y $P (A ∣ B)$ .

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P(B) = 0,3 · 0,8 + 0,7 · 0,1 = 0,31 ; P(A | B) = 0,24/0,31 ≈ 0,774