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NS 2.15Funciones pares e impares; restricción del dominio para la inversa

Funciones pares e impares. Determinación de la función inversa $𝐟^{- 𝟏}$ , incluida la restricción del dominio de f cuando sea necesario.

Funciones pares e impares

Una función $f$ es par si $f (- x) = f (x)$ para todo $x$ del dominio; su gráfica es simétrica respecto al eje Y. Una función $f$ es impar si $f (- x) = - f (x)$ para todo $x$ del dominio; su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas. No todas las funciones son pares, impares, o ninguna de las dos cosas.

Restricción del dominio para hallar la inversa

Cuando una función no es inyectiva en todo su dominio (por ejemplo, $f (x) = x^{2}$ , ya que $f (- 2) = f (2) = 4$ ), no existe una función inversa definida sobre todo el dominio original. Sin embargo, sí es posible definir una inversa restringiendo el dominio de $f$ a un intervalo en el que la función sí sea inyectiva.

Figura 32. Función par, función impar e inversa de $x^{2}$ restringida a $x \geq 0$ .

Actividad resuelta

1. Determina si las funciones $𝐟 (𝐱) = 𝐱^{𝟒} - 𝟐 𝐱^{𝟐}$ y $𝐠 (𝐱) = 𝐱^{𝟑} - 𝐱$ son pares, impares o ninguna de las dos cosas.

$f (- x) = {(- x)}^{4} - 2 {(- x)}^{2} = x^{4} - 2 x^{2} = f (x) \to f e s 𝐩 𝐚 𝐫$

$g (- x) = {(- x)}^{3} - (- x) = - x^{3} + x = - (x^{3} - x) = - g (x) \to g e s 𝐢 𝐦 𝐩 𝐚 𝐫$

2. Restringe el dominio de $𝐟 (𝐱) = 𝐱^{𝟐} + 𝟐$ a los reales no negativos, y halla la expresión de su función inversa en ese dominio restringido.

Con $D o m (f) = [0, + \infty)$ , $f$ es inyectiva (creciente). Se intercambian $x$ e $y$ y se despeja:

$y = x^{2} + 2 \overset{x \leftrightarrow y}{\to} x = y^{2} + 2 \to y^{2} = x - 2 \to y = \sqrt{x - 2}$

(se toma la raíz positiva porque el dominio restringido de $f$ era $x \geq 0$ ). Por tanto, $f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 2}$ , con dominio $[2, + \infty)$ .

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Indica si cada función es par, impar o ninguna de las dos:

a) $f (x) = x^{4} - x^{2}$

b) $g (x) = x^{3} + x$

c) $h (x) = x^{2} + x$

d) $k (x) = | |$ x|

e) $m (x) = \frac{1}{x}$

Ver solución

a) Par

b) Impar

c) Ninguna

d) Par

e) Impar

2. Demuestra algebraicamente que $f (x) = x^{3} - 5 x$ es impar y que $g (x) = x^{4} + 3$ es par.

Ver solución

f(−x) = −x³ + 5x = −f(x), impar. g(−x) = x⁴ + 3 = g(x), par

3. Sabiendo que f es par con $f (3) = 5$ y que g es impar con $g (2) = - 4$ , halla $f (- 3)$ , $g (- 2)$ y $(f \cdot g) (- 2)$ si $f (2) = 7$ .

Ver solución

f(−3) = 5 ; g(−2) = −g(2) = 4 ; (f·g)(−2) = f(−2) · g(−2) = 7 · 4 = 28

4. ¿Es $f (x) = {(x - 2)}^{2}$ inyectiva en ℝ? Restringe su dominio a un intervalo maximal en el que lo sea y halla la inversa en ese intervalo.

Ver solución

No es inyectiva (f(0) = f(4) = 4). En [2, ∞) sí lo es: y = (x − 2)² ⇒ f⁻¹(x) = 2 + √x, con dominio [0, ∞)

5. Restringe $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ a [2, ∞[ y halla $f^{- 1} (x)$ , con su dominio y su recorrido.

Ver solución

f(x) = (x − 2)² − 3. En [2, ∞): f⁻¹(x) = 2 + √(x + 3), dominio [−3, ∞) y recorrido [2, ∞)