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NS 4.10Combinaciones lineales de variables aleatorias

Transformación lineal de una única variable aleatoria. Valor esperado y varianza de combinaciones lineales de n variables aleatorias independientes.

Transformación lineal de una variable aleatoria

Si $Y = a X + b$ es una transformación lineal de la variable aleatoria $X$ :

$E (a X + b) = a E (X) + b V a r (a X + b) = a^{2} V a r (X)$

Combinaciones lineales de variables independientes

Si $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ son variables aleatorias independientes, el valor esperado de su suma (o de cualquier combinación lineal) es siempre la suma de los valores esperados, se cumpla o no la independencia; sin embargo, la varianza de la suma solo es la suma de las varianzas cuando las variables son independientes:

$E (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = E (X_{1}) + E (X_{2}) + \dots + E (X_{n})$

$V a r (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = V a r (X_{1}) + V a r (X_{2}) + \dots + V a r (X_{n}) (s i s o n i n d e p e n d i e n t e s)$

Figura 27. La suma de dos normales independientes es normal: las medias y las varianzas se suman.

Actividad resuelta

El peso de una caja vacía sigue una distribución de media 400 g y varianza 100 g². Se colocan en ella 5 objetos independientes entre sí, cada uno de media 250 g y varianza 36 g². Halla la media y la varianza del peso total (caja + objetos).

Sea $T = C + X_{1} + X_{2} + X_{3} + X_{4} + X_{5}$ , con $C$ el peso de la caja y $X_{i}$ el peso de cada objeto:

$E (T) = 400 + 5 (250) = 400 + 1250 = 1650 g$

$V a r (T) = 100 + 5 (36) = 100 + 180 = 280 g^{2}$

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. La variable X tiene $E (X) = 5$ y Var $(X) = 4$ . Halla $E (Y)$ y Var(Y) para:

a) $Y = 3 X + 2$

b) $Y = 10 - 2 X$

Ver solución

a) E(Y) = 3 · 5 + 2 = 17 ; Var(Y) = 9 · 4 = 36

b) E(Y) = 10 − 10 = 0 ; Var(Y) = 4 · 4 = 16

2. X e Y son independientes con $E (X) = 3$ , Var $(X) = 2$ , $E (Y) = 7$ y Var $(Y) = 5$ . Calcula:

a) $E (2 X + Y)$

b) Var $(2 X + Y)$

c) Var $(X - Y)$

Ver solución

a) 2 · 3 + 7 = 13

b) 4 · 2 + 5 = 13

c) 2 + 5 = 7

3. Un trayecto tiene dos etapas independientes con tiempos medios 20 y 35 min y desviaciones típicas 3 y 4 min. Halla la media y la desviación típica del tiempo total.

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Media = 20 + 35 = 55 min ; varianza = 9 + 16 = 25 ⇒ σ = 5 min

4. Si $X_{1}$ , $X_{2}$ , $X_{3}$ son independientes con la misma media μ y la misma varianza $σ^{2}$ , halla la media y la varianza de la media muestral $\frac{X_{1} + X_{2} + X_{3}}{3}$ .

Ver solución

E(X̄) = μ ; Var(X̄) = 3σ²/9 = σ²/3

5. Una máquina llena botellas con X ∼ $N (500, 4^{2})$ ml. Se llenan 2 botellas independientes. Halla la distribución de la suma y la probabilidad de que la suma supere 1010 ml.

Ver solución

S ∼ N(1000, 32) (σ = √32 ≈ 5,66). P(S > 1010) = P(Z > 10/5,66 = 1,77) ≈ 0,0385