NM 2.8Funciones exponenciales y logarítmicas

Funciones exponenciales y sus gráficas: $𝐟\left(𝐱\right)\mathbf{=}{𝐚}^{𝐱}\mathbf{,}𝐚\mathbf{>}\mathrm{𝟎}$; $𝐟\left(𝐱\right)\mathbf{=}{𝐞}^{𝐱}$. Funciones logarítmicas y sus gráficas: $𝐟\left(𝐱\right)\mathbf{=}{𝐥𝐨𝐠}_{𝐚}𝐱\mathbf{,}𝐱\mathbf{>}\mathrm{𝟎}$; $𝐟\left(𝐱\right)\mathbf{=}𝐥𝐧𝐱\mathbf{,}𝐱\mathbf{>}\mathrm{𝟎}$.

Funciones exponenciales

La función $f\left(x\right)=a^x$ ($a>0$, $a\ne 1$) tiene dominio $ℝ$ y recorrido $(0,+\infty )$; su gráfica pasa siempre por el punto $(0,1)$ y tiene como asíntota horizontal el eje X ($y=0$). Es creciente si $a>1$ y decreciente si $0<a<1$. Un caso particularmente importante es $f\left(x\right)=e^x$, con $e\approx 2,71828$, base de los procesos de crecimiento y decrecimiento continuos (interés compuesto continuo, desintegración radiactiva, crecimiento de poblaciones, etc.).

Funciones logarítmicas

La función logarítmica $f\left(x\right)={log}_{a}x$ ($a>0$, $a\ne 1$) es la inversa de la función exponencial $f\left(x\right)=a^x$; su dominio es $(0,+\infty )$ y su recorrido es $ℝ$. Su gráfica pasa por el punto $(1,0)$ y tiene como asíntota vertical el eje Y ($x=0$); al ser $f^{-1}$ de la exponencial, su gráfica es la reflexión de esta respecto a la recta $y=x$. El caso $f\left(x\right)=lnx={log}_{e}x$ es el logaritmo natural (o neperiano), inverso de $f\left(x\right)=e^x$.

Figura 25. Modelo exponencial de crecimiento: $P\left(t\right)=200$ · ${1,18}^t$.