MAE NS › Bloque 4 · Complejos, geometría y análisis › Geometría espacial

NS 3.18Posiciones relativas recta-plano

Intersección de: una recta y un plano, dos planos, tres planos. Ángulo que forman: una recta y un plano; dos planos. Hallar intersecciones resolviendo ecuaciones; interpretación geométrica de las soluciones.

Recta y plano

Una recta $r$ (vector director $\vec{b}$ ) y un plano $π$ (vector normal $\vec{n}$ ) pueden ser: secantes (se cortan en un punto, si $\vec{b} \cdot \vec{n} \neq 0$ ), paralelos (si $\vec{b} \cdot \vec{n} = 0$ y un punto de $r$ no pertenece a $π$ ) o la recta puede estar contenida en el plano (si $\vec{b} \cdot \vec{n} = 0$ y un punto de $r$ sí pertenece a $π$ ). El punto de corte, cuando existe, se halla sustituyendo la ecuación paramétrica de la recta en la ecuación cartesiana del plano.

El ángulo $α$ que forman una recta y un plano es el complementario del ángulo entre $\vec{b}$ y $\vec{n}$ :

$s e n α = \frac{| \vec{b} \cdot \vec{n} |}{| \vec{b} | | \vec{n} |}$

Dos planos

Dos planos, de vectores normales $\vec{n_{1}}$ y $\vec{n_{2}}$ , pueden ser coincidentes, paralelos (si $\vec{n_{1}}$ y $\vec{n_{2}}$ son paralelos) o secantes, cortándose en ese caso en una recta. El ángulo entre dos planos coincide con el ángulo entre sus vectores normales:

$cos α = \frac{| \vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}} |}{| \vec{n_{1}} | | \vec{n_{2}} |}$

Tres planos

La posición relativa de tres planos se estudia resolviendo el sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas que forman sus ecuaciones cartesianas (véase el apartado 1.16), lo que permite distinguir, entre otros, los casos de un único punto en común, una recta común, o ningún punto en común a los tres planos.

Figura 8. Posiciones relativas de una recta y un plano.

Actividad resuelta

1. Estudia la posición relativa de la recta $\vec{r} = (1, 1, 0) + λ (1, - 1, 2)$ y el plano $π : x + y + z = 4$ , y halla el punto de corte si existe.

El vector director de la recta es $\vec{b} = (1, - 1, 2)$ y el normal del plano $\vec{n} = (1, 1, 1)$ . Como $\vec{b} \cdot \vec{n} = 1 - 1 + 2 = 2 \neq 0$ , la recta y el plano son secantes. Se sustituyen las ecuaciones paramétricas de la recta, $x = 1 + λ, y = 1 - λ, z = 2 λ$ , en la del plano:

$(1 + λ) + (1 - λ) + 2 λ = 4 \to 2 + 2 λ = 4 \to λ = 1$

El punto de corte es $(1 + 1, 1 - 1, 2 \cdot 1) = (2, 0, 2)$ .

2. Estudia la posición relativa de los planos $π_{1} : x - 2 y + z = 3$ y $π_{2} : 2 x - 4 y + 2 z = 1$ .

Los vectores normales son $\vec{n_{1}} = (1, - 2, 1)$ y $\vec{n_{2}} = (2, - 4, 2) = 2 \vec{n_{1}}$ : son paralelos. Como los términos independientes no guardan la misma proporción ( $2 \cdot 3 = 6 \neq 1$ ), los planos son paralelos y distintos: no tienen ningún punto en común.

🖩 Recursos tecnológicos

🧩 Posición relativa de una recta y un plano

Abrir en GeoGebra ↗

🧩 Posición relativa de dos planos

Abrir en GeoGebra ↗

Calculadora CASIO fx-CG50

El estudio de la posición relativa de tres planos se reduce a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas: en MENU → EQUA → Simultaneous, seleccionando 3 incógnitas, se introducen los coeficientes de las tres ecuaciones cartesianas y la calculadora indica si el sistema tiene solución única, infinitas soluciones (recta o plano común) o ninguna solución.

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Halla el punto de intersección de la recta r: $(1, 0, 2) + λ (1, 1, 2)$ y el plano $x + y + z = 7$ .

Ver solución

Sustituyendo (1 + λ, λ, 2 + 2λ) en el plano: (1 + λ) + λ + (2 + 2λ) = 3 + 4λ = 7 ⇒ λ = 1 ⇒ punto de corte (2, 1, 4)

2. Estudia la posición relativa de la recta r: $(1, 2, 1) + λ (1, 1, 0)$ y el plano $x - y + z = 5$ .

Ver solución

d · n = (1, 1, 0) · (1, −1, 1) = 0 y el punto (1, 2, 1) da 1 − 2 + 1 = 0 ≠ 5: la recta es paralela al plano (sin puntos comunes)

3. Calcula el ángulo que forma la recta r: $(0, 0, 0) + λ (1, 2, 2)$ con el plano $z = 0$ .

Ver solución

sen θ = |d · n|/(|d||n|) = 2/3 ⇒ θ ≈ 41,8°

4. Halla la recta de intersección de los planos $x + y + z = 3$ y $x - y + 2 z = 4$ .

Ver solución

d = n₁ × n₂ = (3, −1, −2). Con z = 0: x + y = 3, x − y = 4 ⇒ (7/2, −1/2, 0). Recta: (x, y, z) = (7/2, −1/2, 0) + λ(3, −1, −2)

5. Estudia la intersección de los tres planos $x + y + z = 1$ , $x - y + z = 3$ y $2 x + 2 z = 4$ . Interprétala geométricamente.

Ver solución

Sumando las dos primeras: 2x + 2z = 4, que es la tercera ecuación. Entonces x + z = 2 e y = −1. Solución: (t, −1, 2 − t). Los tres planos se cortan en una recta (el tercero es combinación de los otros dos)