MAE NS › Bloque 4 · Complejos, geometría y análisis › Geometría espacial

NS 3.15Posición relativa entre rectas

Rectas coincidentes, rectas paralelas, rectas que se cortan y rectas alabeadas; cómo distinguir un caso de otro. Puntos de intersección.

Clasificación de dos rectas en el espacio

En el espacio tridimensional, dos rectas $r_{1}$ (con vector director $\vec{b_{1}}$ y punto $A_{1}$ ) y $r_{2}$ (con vector director $\vec{b_{2}}$ y punto $A_{2}$ ) pueden encontrarse en una de estas cuatro posiciones:

– Coincidentes: son la misma recta ( $\vec{b_{1}}$ paralelo a $\vec{b_{2}}$ , y $A_{1}$ pertenece a $r_{2}$ ).

– Paralelas: tienen la misma dirección pero son distintas ( $\vec{b_{1}}$ paralelo a $\vec{b_{2}}$ , y $A_{1}$ no pertenece a $r_{2}$ ).

– Secantes: se cortan en un único punto ( $\vec{b_{1}}$ no paralelo a $\vec{b_{2}}$ , y el sistema formado al igualarlas tiene solución).

– Alabeadas (o que se cruzan): no son paralelas y tampoco se cortan; existen únicamente en el espacio tridimensional.

En la práctica, se comprueba primero si los vectores directores son paralelos; si no lo son, se igualan las ecuaciones paramétricas de ambas rectas y se resuelve el sistema resultante (con dos parámetros, $λ$ y $μ$ ): si tiene solución, las rectas son secantes (y esa solución da el punto de corte); si es incompatible, son alabeadas.

Figura 6. Posiciones relativas de dos rectas en el espacio.

Actividad resuelta

Estudia la posición relativa de las rectas $r : \vec{r} = (1, 0, 2) + λ (1, 1, 0)$ y $s : \vec{r} = (0, 1, 1) + μ (1, - 1, 2)$ , y halla su punto de corte si existe.

Los vectores directores $(1, 1, 0)$ y $(1, - 1, 2)$ no son paralelos (no son proporcionales), así que las rectas no son paralelas ni coincidentes. Se igualan las ecuaciones paramétricas:

${\begin{matrix} 1 + λ = μ \\ λ = 1 - μ \\ 2 = 1 + 2 μ \end{matrix}$

De la tercera ecuación, $μ = \frac{1}{2}$ . Sustituyendo en la segunda: $λ = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ . Se comprueba en la primera: $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \neq \frac{1}{2}$ . El sistema es incompatible, así que las rectas son alabeadas: no son paralelas y no se cortan.

🖩 Recursos tecnológicos

🧩 Posición relativa entre dos rectas

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🧩 Producto mixto

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✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Estudia la posición relativa de las rectas r: $(1, 2, 3) + λ (1, 1, 2)$ y s: $(4, 5, 9) + μ (2, 2, 4)$ .

Ver solución

Los vectores directores son proporcionales (d_s = 2d_r) y (4, 5, 9) − (1, 2, 3) = (3, 3, 6) = 3(1, 1, 2): las rectas son coincidentes

2. Comprueba que las rectas r: $(0, 1, 2) + λ (1, 0, 1)$ y s: $(2, 1, 4) + μ (- 1, 1, 0)$ se cortan y halla el punto de intersección.

Ver solución

r: (λ, 1, 2 + λ) ; s: (2 − μ, 1 + μ, 4). De y: μ = 0 ; de x: λ = 2 ; z: 2 + 2 = 4 ✓. Se cortan en (2, 1, 4)

3. Demuestra que las rectas r: $(1, 0, 0) + λ (1, 1, 0)$ y s: $(0, 0, 1) + μ (1, - 1, 0)$ se cruzan (son alabeadas).

Ver solución

d_r = (1, 1, 0) y d_s = (1, −1, 0) no son proporcionales. Igualando coordenadas: 1 + λ = μ, λ = −μ, 0 = 1: sistema incompatible. Producto mixto con AB = (−1, 0, 1): −2 ≠ 0. Las rectas se cruzan

4. Halla el valor de k para que r: $(1, 2, 0) + λ (1, 1, 1)$ y s: $(0, 1, 1) + μ (2, 2, k)$ sean paralelas.

Ver solución

Paralelas si (2, 2, k) = 2(1, 1, 1) ⇒ k = 2. Para k = 2 son paralelas distintas, pues (−1, −1, 1) no es proporcional a (1, 1, 1)

5. Resume los pasos para clasificar dos rectas del espacio a partir de sus vectores directores y de un punto de cada una.

Ver solución

1) Comparar d₁ y d₂: si son proporcionales, las rectas son paralelas o coincidentes (coincidentes si P₁P₂ también es proporcional a d₁). 2) Si no lo son, calcular el producto mixto [d₁, d₂, P₁P₂]: si vale 0 se cortan en un punto (se halla resolviendo el sistema) y si no vale 0 se cruzan