MAE NS › Bloque 5 · Análisis y probabilidad › Integrales II

NS 5.16Área entre curvas y volúmenes de revolución

Área de una región limitada entre dos curvas. Volumen de un sólido de revolución generado al girar una región alrededor del eje X o del eje Y.

Área entre dos curvas

El área de la región comprendida entre las gráficas de $f (x)$ y $g (x)$ (con $f (x) \geq g (x)$ ) entre $x = a$ y $x = b$ es:

$A = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x$

Volúmenes de revolución

Al girar, alrededor del eje X, la región limitada por la curva $y = f (x)$ , el eje X y las rectas $x = a$ , $x = b$ , se genera un sólido de revolución cuyo volumen es:

$V = π \int_{a}^{b} [f (x)]^{2} d x$

De forma análoga, al girar una región alrededor del eje Y (con la curva expresada como $x = g (y)$ ), el volumen es $V = π \int_{c}^{d} [g (y)]^{2} d y$ .

Figura 18. Área entre dos curvas y volumen de un sólido de revolución.

Actividad resuelta

1. Halla el área de la región comprendida entre $𝐟 (𝐱) = 𝐱 + 𝟐$ y $𝐠 (𝐱) = 𝐱^{𝟐}$ .

Puntos de corte: $x + 2 = x^{2} \to x^{2} - x - 2 = 0 \to x = - 1$ o $x = 2$ . En ese intervalo, $f (x) \geq g (x)$ .

$A = \int_{- 1}^{2} [(x + 2) - x^{2}] d x = {[\frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{x^{3}}{3}]}_{- 1}^{2} = (2 + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}) = \frac{9}{2} u^{2}$

2. Calcula el volumen del sólido generado al girar, alrededor del eje X, la región limitada por $𝐟 (𝐱) = \sqrt{𝐱}$ , el eje X y la recta $𝐱 = 𝟒$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(\sqrt{x})}^{2} d x = π \int_{0}^{4} x d x = π {[\frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{4} = π \cdot 8 = 8 π u^{3}$

🖩 Recursos tecnológicos

🧩 Volúmenes de revolución

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Calculadora CASIO fx-CG50

En MENU → RUN·MAT, la instrucción ∫(f(x), a, b) permite calcular el área entre curvas integrando la diferencia f(x)-g(x); para un volumen de revolución en torno al eje X, basta introducir la función a integrar como π·(f(x))² dentro de la misma instrucción ∫(π(f(x))², a, b).

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Halla el área de la región limitada por $y = x^{2}$ e $y = 2 x$ .

Ver solución

Se cortan en x = 0 y x = 2: ∫₀² (2x − x²) dx = 4/3

2. Halla el área entre $y = s e n x$ e $y = cos x$ para x entre 0 y $\frac{π}{4}$ .

Ver solución

∫₀^(π/4) (cos x − sen x) dx = [sen x + cos x]₀^(π/4) = √2 − 1 ≈ 0,414

3. Halla el área limitada por las curvas $y = x^{2}$ e $y = 8 - x^{2}$ (usa la calculadora para los puntos de corte).

Ver solución

x² = 8 − x² ⇒ x = ±2 ; ∫₋₂² (8 − 2x²) dx = 64/3 ≈ 21,33

4. Calcula el volumen del sólido generado al girar $y = \sqrt{x}$ , $0 \leq x \leq 4$ , alrededor del eje X.

Ver solución

V = π ∫₀⁴ x dx = 8π ≈ 25,13

5. Calcula el volumen del sólido generado al girar la región limitada por $y = x^{2}$ , $x = 2$ y el eje X alrededor del eje X.

Ver solución

V = π ∫₀² x⁴ dx = 32π/5 ≈ 20,11

6. Calcula el volumen generado al girar $y = x^{2} (0 \leq y \leq 4)$ alrededor del eje Y.

Ver solución

x = √y ⇒ V = π ∫₀⁴ y dy = 8π ≈ 25,13