MAE NS › Bloque 3 · Trigonometría y estadística › Trigonometría

NM 3.3Resolución de triángulos

El teorema del seno y el teorema del coseno. Área de un triángulo utilizando $\frac{𝟏}{𝟐} 𝐚 𝐛 s e n 𝐂$ . Resolución de triángulos, incluidos problemas de aplicación.

Teorema del seno

En cualquier triángulo de lados $a, b, c$ y ángulos opuestos $A, B, C$ :

$\frac{a}{s e n A} = \frac{b}{s e n B} = \frac{c}{s e n C}$

Se utiliza cuando se conocen dos ángulos y un lado, o dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos.

Teorema del coseno

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$

Se utiliza cuando se conocen los tres lados, o dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

Área de un triángulo

Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, el área del triángulo es:

$A = \frac{1}{2} a b s e n C$

Figura 45. Triángulo ABC: lados y ángulos opuestos; teoremas del seno y del coseno.

Figura 46. Área de un triángulo a partir de dos lados y el ángulo comprendido.

Actividad resuelta

En un triángulo, $𝐚 = 𝟖$ cm, $𝐛 = 𝟏𝟎$ cm y el ángulo $𝐂 = 𝟒𝟎^{\circ}$ . Halla el lado $𝐜$ y el área del triángulo.

Por el teorema del coseno:

$c^{2} = 8^{2} + 10^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot c o s 40^{\circ} \approx 64 + 100 - 122, 68 = 41, 32 \Rightarrow c \approx 6, 43 c m$

$A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot s e n 40^{\circ} \approx 25, 71 {c m}^{2}$

🖩 Recursos tecnológicos

🧩 Estudio de triángulos rectángulos

Abrir en GeoGebra ↗

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. En un triángulo rectángulo ABC (recto en C) se conocen $A B = 10$ cm y el ángulo $A = 30^{\circ}$ . Calcula BC y AC.

Ver solución

BC = 10 · sen 30° = 5 cm ; AC = 10 · cos 30° ≈ 8,66 cm

2. Calcula el valor de x en cada triángulo rectángulo (catetos a y b, hipotenusa c):

a) $a = 6$ , $b = 8$ ; halla c

b) $c = 13$ , $a = 5$ ; halla b

c) $c = 20$ , ángulo $A = 40^{\circ}$ ; halla a

Ver solución

a) c = √(36 + 64) = 10

b) b = √(169 − 25) = 12

c) a = 20 · sen 40° ≈ 12,86

3. Halla el ángulo agudo θ (a 1 cifra decimal) sabiendo que:

a) $s e n θ = 0, 6$

b) $cos θ = 0, 25$

c) $tan θ = 2, 4$

Ver solución

a) θ = sen⁻¹ 0,6 ≈ 36,9°

b) θ = cos⁻¹ 0,25 ≈ 75,5°

c) θ = tan⁻¹ 2,4 ≈ 67,4°

4. En un triángulo ABC se conocen $a = 8$ cm, $B = 40^{\circ}$ y $C = 70^{\circ}$ . Halla A y los lados b y c con el teorema del seno.

Ver solución

A = 180° − 40° − 70° = 70° ; b = 8 · sen 40° / sen 70° ≈ 5,47 cm ; c = 8 · sen 70° / sen 70° = 8 cm

5. En un triángulo ABC: $a = 7$ cm, $b = 9$ cm y $C = 50^{\circ}$ . Halla el lado c con el teorema del coseno y, después, el ángulo A.

Ver solución

c² = 7² + 9² − 2 · 7 · 9 · cos 50° ⇒ c ≈ 7,00 cm. sen A / 7 = sen 50° / 7,00 ⇒ A ≈ 50,0°

6. En un triángulo ABC: $a = 5$ , $b = 7$ y $c = 10$ cm. Halla el mayor de los ángulos con el teorema del coseno.

Ver solución

El mayor ángulo es el opuesto al lado mayor (c = 10): cos C = (25 + 49 − 100) / (2 · 5 · 7) = −26/70 ⇒ C ≈ 111,8°

7. Caso ambiguo: en un triángulo ABC, $a = 6$ cm, $b = 8$ cm y $A = 40^{\circ}$ . Halla las dos posibles medidas del ángulo B.

Ver solución

sen B = 8 · sen 40° / 6 ≈ 0,857 ⇒ B ≈ 59,0° o B = 180° − 59,0° = 121,0° (ambos válidos, pues 40° + 121° < 180°)

8. Calcula el área de cada triángulo con la fórmula ½ab sen C:

a) $a = 6$ cm, $b = 9$ cm, $C = 35^{\circ}$

b) $a = 10$ cm, $b = 4$ cm, $C = 120^{\circ}$

Ver solución

a) ½ · 6 · 9 · sen 35° ≈ 15,49 cm²

b) ½ · 10 · 4 · sen 120° ≈ 17,32 cm²

9. Dos lados de un terreno triangular miden 40 m y 55 m y forman un ángulo de 65°. Halla el tercer lado y el área del terreno.

Ver solución

Tercer lado c: c² = 40² + 55² − 2 · 40 · 55 · cos 65° ⇒ c ≈ 52,6 m. Área = ½ · 40 · 55 · sen 65° ≈ 997 m²