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NM 3.8Resolución de ecuaciones trigonométricas

Resolución de ecuaciones trigonométricas en un intervalo finito, tanto algebraicamente como con la ayuda de tecnología. Ecuaciones que dan lugar a ecuaciones cuadráticas mediante una sustitución.

Resolución de ecuaciones trigonométricas

Para resolver una ecuación trigonométrica en un intervalo dado, se aísla la razón trigonométrica, se halla el ángulo (o los ángulos) de referencia mediante la función inversa correspondiente, y se determinan todas las soluciones dentro del intervalo, teniendo en cuenta la periodicidad de la función y los distintos cuadrantes en los que la razón toma el mismo valor.

Ecuaciones reducibles a cuadráticas

Algunas ecuaciones trigonométricas, tras aplicar la identidad fundamental u otra sustitución adecuada (por ejemplo, $t = s e n x$ ), se transforman en una ecuación de segundo grado en la nueva variable, que se resuelve con los métodos habituales antes de deshacer el cambio.

Figura 50. Resolución gráfica de $s e n x = 0, 5$ en $[0, 2 π]$ : dos soluciones.

Actividad resuelta

1. Resuelve $𝟐 s e n 𝐱 - 𝟏 = 𝟎$ para $𝟎 \leq 𝐱 < 𝟑𝟔𝟎^{\circ}$ .

$s e n x = \frac{1}{2}$

El seno vale $\frac{1}{2}$ en el primer y en el segundo cuadrante: $x = 30^{\circ}$ y $x = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$ .

2. Resuelve $𝟐 {𝐜𝐨𝐬}^{𝟐} 𝐱 + s e n 𝐱 - 𝟏 = 𝟎$ para $𝟎 \leq 𝐱 < 𝟑𝟔𝟎^{\circ}$ .

Sustituyendo ${cos}^{2} x = 1 - {s e n}^{2} x$ :

$2 (1 - {s e n}^{2} x) + s e n x - 1 = 0 \Rightarrow - 2 {s e n}^{2} x + s e n x + 1 = 0 \Rightarrow 2 {s e n}^{2} x - s e n x - 1 = 0$

Con $t = s e n x$ : $2 t^{2} - t - 1 = 0 \Rightarrow t = 1$ o $t = - \frac{1}{2}$ .

Si $s e n x = 1$ : $x = 90^{\circ}$ . Si $s e n x = - \frac{1}{2}$ : $x = 210^{\circ}$ y $x = 330^{\circ}$ .

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Resuelve en [0°, 360°[:

a) $2 s e n x - 1 = 0$

b) $2 cos x + \sqrt{3} = 0$

c) $tan x = - 1$

Ver solución

a) sen x = 1/2 ⇒ x = 30° o 150°

b) cos x = −√3/2 ⇒ x = 150° o 210°

c) tan x = −1 ⇒ x = 135° o 315°

2. Resuelve en [0, 2π]:

a) $2 {cos}^{2} x - cos x - 1 = 0$

b) $s e n x = cos x$

Ver solución

a) cos x = 1 o cos x = −1/2 ⇒ x = 0, 2π/3, 4π/3, 2π

b) tan x = 1 ⇒ x = π/4 o 5π/4

3. Resuelve $2 {s e n}^{2} x + 3 cos x - 3 = 0$ para $0 \leq x \leq 2 π$ (sustituye ${s e n}^{2} x = 1 - {cos}^{2} x$ ).

Ver solución

2(1 − cos²x) + 3 cos x − 3 = 0 ⇒ 2cos²x − 3 cos x + 1 = 0 ⇒ cos x = 1 o 1/2 ⇒ x = 0, π/3, 5π/3, 2π

4. Resuelve con la calculadora (modo Rad), en el intervalo $[0, 6]$ , la ecuación $3 s e n (2 x) = 1$ (3 cifras decimales).

Ver solución

sen 2x = 1/3 ⇒ 2x ≈ 0,340 o 2,802 (más 2πk) ⇒ x ≈ 0,170 ; 1,40 ; 3,31 ; 4,54

5. Resuelve $s e n 2 x = s e n x$ en $[0, 2 π]$ utilizando la fórmula del ángulo doble.

Ver solución

2 sen x cos x = sen x ⇒ sen x (2 cos x − 1) = 0 ⇒ x = 0, π, 2π (sen x = 0) o x = π/3, 5π/3 (cos x = 1/2)