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NS 4.14La distribución de Poisson

La distribución de Poisson, su media y su varianza. Aplicación a situaciones de sucesos que ocurren de forma independiente a una tasa media constante.

La distribución de Poisson

La distribución de Poisson modela el número de veces que ocurre un suceso en un intervalo fijo de tiempo o espacio, cuando estos sucesos ocurren de forma independiente entre sí y a una tasa media constante, $λ$ (número medio de ocurrencias en ese intervalo). Se escribe $X \sim P o (λ)$ , y su función de probabilidad es:

$P (X = k) = \frac{e^{- λ} λ^{k}}{k!}, k = 0, 1, 2, \dots$

Una propiedad característica de esta distribución es que su media y su varianza coinciden:

$E (X) = λ V a r (X) = λ$

Figura 30. Distribuciones de Poisson Po(1), Po(3) y Po(7): al aumentar λ la distribución se desplaza y se ensancha.

Actividad resuelta

El número de llamadas que recibe un centro de atención telefónica sigue una distribución de Poisson con una media de 4 llamadas por minuto. Calcula la probabilidad de que en un minuto dado se reciban exactamente 3 llamadas.

$X \sim P o (4) P (X = 3) = \frac{e^{- 4} \cdot 4^{3}}{3!} = \frac{e^{- 4} \cdot 64}{6} \approx \frac{0, 0183 \cdot 64}{6} \approx 0, 1954$

🖩 Recursos tecnológicos

Calculadora CASIO fx-CG50

En MENU → STAT → DIST → POISSON, la opción Ppd calcula directamente P(X=k) para una variable X~Po(λ) introduciendo k y λ, y Pcd calcula la probabilidad acumulada P(X≤k).

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. En una centralita entran, en promedio, 4 llamadas por minuto. Define la variable X y calcula con la calculadora $P (X = 3)$ , $P (X \leq 2)$ y $P (X \geq 5)$ .

Ver solución

X = número de llamadas por minuto, X ∼ Po(4). P(X = 3) ≈ 0,1954 ; P(X ≤ 2) ≈ 0,2381 ; P(X ≥ 5) = 1 − P(X ≤ 4) ≈ 0,3712

2. Si X ∼ Po(λ) y $P (X = 0) = 0, 2$ , halla λ y la media y la varianza de X.

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e^(−λ) = 0,2 ⇒ λ = ln 5 ≈ 1,609 ; E(X) = Var(X) = λ ≈ 1,609

3. Un panadero hace 150 magdalenas con 300 pasas repartidas al azar. Modeliza con Poisson el número de pasas por magdalena y calcula la probabilidad de que una magdalena no tenga pasas.

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λ = 300/150 = 2 pasas por magdalena ⇒ P(X = 0) = e⁻² ≈ 0,1353

4. Un servidor recibe 2 errores por hora de media. Calcula la probabilidad de que en 3 horas haya exactamente 5 errores.

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En 3 horas λ = 6 ⇒ P(X = 5) ≈ 0,1606

5. Explica qué condiciones debe cumplir una situación para modelizarla con una distribución de Poisson.

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Los sucesos ocurren de forma independiente, de uno en uno, con una tasa media constante en el tiempo (o espacio) y la probabilidad de un suceso es proporcional a la longitud del intervalo