NS 5.18Series de Maclaurin

Desarrollo de Maclaurin de ${𝐞}^{𝐱}$, $sen𝐱$, $𝐜𝐨𝐬𝐱$, $𝐥𝐧\left(\mathrm{𝟏}\mathbf{+}𝐱\right)$ y ${\left(\mathrm{𝟏}\mathbf{+}𝐱\right)}^{𝐩}$, p racional. Uso de la sustitución, el producto, la derivación y la integración de series conocidas para obtener otras series de Maclaurin.

El desarrollo de Maclaurin

El desarrollo de Maclaurin de una función $f$ (derivable infinitas veces en $x=0$) es una serie de potencias que aproxima $f\left(x\right)$ mediante sus derivadas sucesivas en $x=0$:

$$f\left(x\right)\approx f\left(0\right)+f\prime \left(0\right)x+\frac{f″\left(0\right)}{2!}{x}^2+\frac{f‴\left(0\right)}{3!}{x}^3+\dots$$

Series de Maclaurin conocidas

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots senx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots$$

$$cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dots ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\dots$$

$${(1+x)}^p=1+px+\frac{p(p-1)}{2!}{x}^2+\dots$$

Obtención de nuevas series a partir de las conocidas

A partir de estas series, se pueden obtener los desarrollos de otras funciones relacionadas mediante sustitución (por ejemplo, sustituyendo $x$ por $-x^2$ en la serie de $e^x$ para obtener la de $e^{-x^2}$), producto de dos series conocidas, o derivando o integrando término a término una serie ya conocida.

Figura 20. Aproximaciones de Maclaurin de sen x: al aumentar el grado, la aproximación mejora en un entorno mayor de 0.